Mate Geometria Analitikoa

GEOMETRIA ANALITIKOA.
PROBLEMA AFIN
ETA METRIKOAK

8
187. orrialdea

HAUSNARTU ETA EBATZI
Segmentu baten erdiko puntua
Hartu P (2, 5), Q (10, 3) puntuak, eta adierazi planoan::
P (2, 5)
Q (10, 3)

■

Kokatu grafiko horretan PQ segmentuaren erdiko puntua, M, eta eman horren
koordenatuak?? Ikusten duzu erlaziorik M-ren koordenatuen eta P-ren eta
Q-ren koordenatuen artean?
M (6, 4)
Q'
P (2, 5)

Q"M

M"
P"

■

M'

Q (10, 3)

P'

Egin gauza bera mutur hauek dituzten segmentuen kasuan:
a) P' (5, 1), Q' (9, 7)
b) P'' (0, 1), Q'' (10, 5)
a) M' (7, 4)
b) M'' (5, 3)

Aurreko emaitza horietan oinarrituta, saiatu segmentu baten erdiko puntuaren koordenatuak bere muturren koordenatuetatik abiatuta kalkulatzeko irizpideren bat
ematen..
Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmentoson la semisuma
de las coordenadas de sus extremos.
8. unitatea. Geometria analitikoa. Problema afin eta metrikoak

1

Zuzenaren ekuazioak
■

giaztatu honako ekuazio hauek:
Eg
° x = 2 + 3t
¢
£y = 4 – t
uzen bati dagokiola, eta, horretarako, kalkulatu euren puntuetako batzuk.
zu
(Eman t--ri –2, –1, 0, 1, 2, 3 balioak, eta adierazi kasu bakoitzari dagozkion
puntuak; denak zuzen berean daudela ikusikoduzu).
Ezabatu parametroa, honela jokatuz:
— Bakandu t lehenengo ekuazioan.
— Ordezkatu bere balioa bigarrenean.
— Ordenatu lortu duzun ekuazio horretako gaiak.
Horrela, zuzenaren ekuazioa betiko moduan lortuko duzu.
t

–2

–1

(x, y ) (– 4, 6) (–1, 5)

0

1

2

3

(2, 4)

(5, 3)

(8, 2)

(11, 1)

Y
(–4, 6)
(–1, 5)
(2, 4)
(5, 3)
(8, 2)
(11, 1)
r
X

x–2
t=—
3
t=4–y

°
§
x–2
–x + 14
= 4 – y 8 x – 2= 12 – 3y 8 y =
8
¢ 8
3
3
§
£
8 y=

2

–1
14
x+
3
3

8. unitatea. Geometria analitikoa. Problema afin eta metrikoak

UNITATEA

8

Distantziak planoan
s
Q (5, 7)

P (2, 3)
r

s
Q (5, 7)
P'
Q''
P(2, 3)

r

P''
Q'

■

Kalkulatu zenbateko distantzia dagoen P eta Q puntuetatik r eta s zuzenetara.
d (P, r ) = 1; d (P, s ) = 8; d (Q, r ) = 5; d (Q, s ) = 5

■

Kalkulatu zenbateko distantzia dagoen Peta Q puntuen artean (erabili Pita gorasen teorema).
d (P, Q ) = √32 + 42 = 5, pues P y Q son dos vértices de un triángulo rectángulo de
catetos 3 y 4.

■

Kalkulatu baita honako hauen arteko distantziak ere:
a) P' (0, 5), Q' (12, 0)
b) P'' (3, 1), Q'' (7, 4)

Aurreko emaitzetan oinarrituta, saiatu bi punturen arteko distantzia euren koor denatuetatik abiatuta kalkulatzeko irizpideren bat ematen.
a)d (P', Q' ) = √52 + 122 = √169 = 13
b) d (P", Q" ) = √42 + 32 = √25 = 5
d (A, B ) = √ (b1 – a1)2 + (b2 – a2)2 , donde A (a1, a2) y B (b1, b2).
8

d (A, B ) = | AB |
8. unitatea. Geometria analitikoa. Problema afin eta metrikoak

3

189. orrialdea
8

8

1. Kalkulatu MN eta NM-ren koordenatuak, jakinda M (7, –5) eta N (–2, –11)
direla.
8

MN = (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6)
8

NM = (7, –5) – (–2,–11) = (9, 6)
2. Esan P (7, 11), Q (4, –3) eta R (10, 25) puntuak lerrokatuta dauden.
8

PQ = (–3, –14) °
–3
–14
=
8 A, B y C están alineados.
¢ 8
8
6
28
QR = (6, 28) £
3. Kalkulatu zenbatekoa izan behar duen k--ren balioak honako koordenatu hauek
dituzten puntuak,
A (1, 7)

B (–3, 4)

C (k,, 5)

lerrokatuta egoteko.
8

AB = (–4, –3) °
–4
–3
–5
=
8 –4 = –3k – 9 8 3k = –5 8 k =
¢ 8
8
k
+
3
1
3
BC =(k + 3, 1) £

190. orrialdea
4. P (3, 9) eta Q (8, –1) puntuak emanda, lortu:
a) PQ--ren erdiko puntua.
b) P--ren simetrikoa Q--rekiko.
c) Q--ren simetrikoa P--rekiko.
8

8

8

8

d) PQ segmentuko A puntu bat, PA /AQ = 2/3 izanik.
e) PQ segmentuko B puntu bat, PB / PQ = 1/5 izanik.
a) M

( 3 +2 8 , 9 + 2( –1) ) = ( 112 , 4)

b) 3 + x
—––––– = 8 8 x = 13
2
9+y
—––––– = –1 8 y = –11
2

°
§
§
¢ 8 P'(13, –11)
§
§
£

P (3, 9)
Q (8, 1)
P' (x, y)

c) Llamamos Q' (x', y') al simétrico de Q respecto de P.
Así: x' + 8
—––––– = 3 8 x' = –2
2
y' + (–1)
—–––––––– = 9 8 y' = 19
2

4

°
§
§
¢ Q' (–2, 19)
§
§
£

Q'
P
Q

8. unitatea. Geometria analitikoa. Problema afin eta metrikoak

UNITATEA

8

d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que:
8

PA =

2 8
2
AQ 8 (x – 3, y – 9) =
(8 –...