Mate II Semana 1 A Derivadas I 2015 1

Matemática II
La Derivada
Definición de la derivada
Reglas de derivación
Regla de la cadena
Ejercicios

Semana 1A

Introducción
Dada la función y  x
¿Alrededor de qué punto la función cambia con mayor
rapidez: x = 1 ó x = 4?
y






¿Cómo podríamos
averiguarlo?











x


















Definición
y

f ( x0  h)

f ( x0  h)
f ( x0 )
h
x0 x0  h

h

x0  h

xDefinición
y

Recta Tangente

f ((xxf
00))
xx00

x

Definición
Se puede ver que la pendiente de la recta
secante que parte del punto (x0; f(x0)) al punto
(x0 + h; f(x0 + h)) viene dada por:
f  x0  h   f  x0 
m
h

La pendiente de la recta tangente se obtiene en
el límite cuando h tiende a cero (observe
nuevamente el gráfico)
f  x0  h   f  x0 
mtg  lim h0
h

Definición
mtg  lim h0

f  x0 h   f  x0 
h

Este límite es conocido como la derivada de la
función con respecto a x, evaluado en x0
f   x0   lim h0

f  x0  h   f  x0 
h

Geométricamente, la derivada representa la
pendiente de la recta tangente a una curva en
un punto específico.

Ejercicios:
Utilizando la definición de la derivada, obtenga
f’(x):
1. f  x   7 x  2
2. f  x   x 2  3 x  1

3. f  x   x4. f  x   x 3
5. Obtenga la pendiente de la recta tangente a la
función f  x   x en el punto de abscisa x = 1
y en x = 4.

Notación de la derivada:

 

Dada y  f x , la derivada de la función con
respecto a x se denota por:

dy df  x 

 y  f   x   Dx y
dx
dx

Matemática II
La Derivada
Definición de la derivada

Reglas de derivación
Regla de la cadena
Ejercicios

9

Reglas dederivación:
Monomio

c = Constante
Producto de constante
por una función
Suma de funciones

Producto de funciones

Cociente de funciones

d n
( x )  n xn 1
dx

d
(c )  0
dx

d
 c f ( x )   c d  f ( x )
dx
dx
d
 f ( x )  g( x )  h( x )  d  f ( x )  d  g( x )  d  h( x )
dx
dx
dx
dx
d
 f ( x ). g( x )    d f ( x )  . g( x )  f ( x ) .  d g( x ) 
dx
 dx

 dx


 d
 d

 f ( x )  . g( x )  f ( x ) .  g( x ) 
d  f (x) 
dx

 dx


  
2
dx  g( x ) 
 g( x )

Reglas de derivación:
Función logarítmica

d
1
( ln x ) 
dx
x
d
( log a x ) 
dx

Función exponencial

1
 ln a  x

d x
e   ex

dx
d x
a   a x ln a

dx

Funciones trigonométricas

d
 sen x   cos x
dx

d
 cos x   sen x
dx

d
 tan x   sec2 x
dx

Matemática II
La DerivadaDefinición de la derivada
Reglas de derivación

Regla de la cadena
Ejercicios

12

Regla de la cadena
Considere las siguientes funciones:

y  f  u   3u 2  2u  4
u  g  x   2x2  5x  3
La composición de las funciones fog es:

y   fog   x   f  2 x 2  5 x  3
y  3  2 x  5 x  3  2  2 x 2  5 x  3  4
2

2

La derivada de y con respecto a x se obtiene:

dy
6 2 x 2  5 x 3  4 x  5  2 4 x  5
dx





Regla de la cadena
Es posible encontrar la misma derivada sin necesidad
de trabajar con la función compuesta, aplicando la
siguiente regla:

dy dy du

dx du dx
Esta regla es conocida como la regla de la cadena.

dy
  6u  2   4 x  5 
dx
Si reemplazamos la variable u como función de x,
obtenemos el mismo resultado.

Regla de la cadena
En general, laderivada de una función compuesta
puede ser expresada de la siguiente manera:
Caso 1:


  fog   x     f  g  x    f   g  x   g   x 
Caso 2:

 f g  h  x      f  g  h  x   g   h  x   h  x 











Reglas Generales
Monomio

Función logarítmica
Función exponencial

Funciones trigonométricas

d
 f  x  n  n  f  x   n 1 f  x 
dx
d
ln f  x   1 f  x 
dx
f  x

d f  x
e
dx





 e f  x  f  x 

d
 sin f  x    cos f  x   f  x 
dx
d
 cos f  x     sin f  x   f  x 
dx

Regla de la cadena
Ejercicios: utilizando la regla de la cadena, obtenga las
derivadas de las siguientes funciones:

1. f  x   3 x  2
2

2. f  x    5 x  7 x  4 
2

3. f  x    x  2 
2

4. f  x  

4

...