Mateca

1.- Definición Momento de Inercia

El momento de inercia de un sólido es una magnitud escalar que viene dada por:



De su definición se deduce que el momento de inercia de un sólido depende del eje de giro (puesto que el radio de giro de cada partícula depende del eje). Como un sólido está constituido por un número muy grande de partículas, en vez de tratarlo como un sistema discretopuede ser analizado como un sistema continuo. Por tanto, el sumatorio de la ecuación anterior puede ser sustituido por la siguiente integral:


Donde dm es un elemento de masa del sólido y R2 su distancia al aje de giro del mismo.

El elemento de masa dm está relacionado con la densidad ρ del sólido y, si éste es homogéneo, al sustituir dm en la expresión del momento de inercia podemos sacar ladensidad de la integral:


dV es un elemento de volumen del sólido y, para calcular el momento de inercia de un sólido homogéneo es preciso resolver la integral recuadrada en rojo.

2.- Teorema de Ejes paralelos

Momentos de inercia
Dado un eje que pasa por el centro de masa de un sólido, y dado un segundo eje paralelo al primero, el momento de inercia de ambos ejes está relacionadomediante la expresión:
donde:
 es el momento de inercia del cuerpo según el eje que no pasa a través de su centro de masas;
 es el momento de inercia del cuerpo según un eje que pasa a través de su centro de masas;
  es la masa del objeto;
es la distancia perpendicular entre los dos ejes.

El resultado anterior puede extenderse al cálculo completo del tensor de inercia. Dado una basevectorial B el tensor de inercia según esa base respecto al centro de masas y respecto a un punto diferente del centro de masas están relacionados por la relación:
donde:
es el vector con origen en G y extremo en P.


Segundos momento de área
La regla puede ser aplicada con la regla de extensión y el teorema de los ejes perpendiculares para encontrar momentos de inercia de una variedad de formas.Regla de los ejes paralelos para el momento de inercia
La regla de los ejes paralelos también puede aplicarse al segundo momento de área (momento de inercia planar) para una región plana D:
donde:

 es el momento de inercia planar de D relativo al eje paralelo;
 es el momento de inercia planar de D relativa a su centroide;
 es el área de una región plana D;
 es la distancia del nuevoeje z al centroide de la región plana D.
El centroide de D coincide con el centro de gravedad (CG) de una lámina fija con la misma forma que tiene densidad uniforme.

Tensor de inercia
En mecánica clásica, el teorema de Steiner (también como teorema de Huygens-Steiner) puede ser generalizado para calcular un nuevo tensor de inercia Jij a partir de un tensor de inercia sobre el centro demasas Iij cuando el punto pivotante es un desplazamiento a del centro de masas:
donde
es el vector desplazamiento del centro de masas al nuevo eje, y
es la función delta de Kronecker.
Se puede ver que, para elementos diagonales (cuando i = j), desplazamientos perpendiculares al eje de rotación resultan en la versión simplificada mostrada arriba del teorema de Steiner.

Demostración
Se asumirá,sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:

El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo del eje x del centro demasas, es:

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:



3.- Radio de giro de un tren
El radio de giro de un área plana tiene unidades de longitud y es una cantidad que se usa para diseñar columnas.
• Se define...