MATECO

Departamento de Economía Aplicada
(Matemáticas)
Grado en: Adm y
Dirección de Empresas

Lección 2:
Problemas de Programación no Lineal.
Problema 1
Dado el siguiente problema:
Min
s.a.

x+y
9x2 + 4y2  9
x + 2y  -1

a) Compruebe si se verifican los teoremas de Weierstrass y Local-Global.
b) Resuelva el problema mediante la función de Lagrange, indicando las
restricciones que sonactivas en el óptimo.
Solución:
a) Comprobemos, en primer lugar, si se verifica el teorema de Weierstrass. La
función es continua, ya que es lineal. El conjunto de oportunidades está formado por los
puntos que verifican las dos restricciones del problema, puesto que el dominio de la
función objetivo es todo 2. En la gráfica que aparece más abajo, este conjunto de
oportunidades (no vacío) esla zona coloreada de verde Podemos observar que es
acotado, puesto que se puede encerrar en una bola de radio finito y es cerrado puesto
que todas las inecuaciones incluyen la igualdad. Por tanto, se verifica las hipótesis del
teorema de Weierstrass y podemos afirmar que el problema tiene un máximo y un
mínimo global, en el interior o en la frontera del conjunto de oportunidades.
Analicemoslas condiciones del teorema Local-Global. Puesto que la función
objetivo es lineal, es tanto cóncava como convexa y el conjunto de oportunidades es
convexo, ya que podemos escoger dos puntos cualesquiera dentro de él y el segmento
que los une también está contenido en dicho conjunto. En consecuencia, este teorema se
cumple para mínimo y para máximo, es decir, todo mínimo (máximo) local esglobal.

En el gráfico que aparece a continuación se muestra el conjunto de oportunidades
y la primera curva de nivel que toca al conjunto de oportunidades. Las curvas de nivel
en este caso son rectas que crecen hacia arriba.

b) Para resolver este problema no lineal, analíticamente, primero lo
transformamos en uno de maximizar y luego construimos la función de Lagrange
asociada:
Max
s.a.-x - y
9x2 + 4y2  9
x + 2y  -1





L( x, y, 1 , 2 )   x  y  1 9 x 2  4 y 2  9  2 x  2 y  1

Las condiciones necesarias de punto estacionario son:

L( x, y, 1 , 2 )
 1  181 x   2  0
x

L( x, y,  )
 1  8 y1  2 2  0
y

L( x, y,  )
 (9 x 2  4 y 2  9)  0
1

L( x, y,  )
 ( x  2 y  1)  0
 2


( I)
 0
L(x, y,  )
1
 1 9 x 2  4 y 2  9  0   1 2
2
1
9 x  4 y  9 (II)

(III)
 0
L( x, y,  )
2
 2 x  2 y  1  0   2
(IV)
2
 x  2 y  1





1  0, 2  0
A partir de las condiciones de holgura complementaria, tenemos las siguientes
opciones:

2=0
1=0
x + 2y = -1

9x 2  4 y 2  9

2=0
x + 2y = -1

Para obtener los puntos estacionarios,tomamos la rama 9 x 2  4 y 2  9 y λ2 = 0.
Si 9 x 2  4 y 2  9 y 2 = 0, sustituyendo ésta última en (a) y (b), y despejando 1 de
ambas, obtenemos:

1 
18
9
18 x 

  18 x  8 y  y  x  x
1 
8
4
 1  8 y1  0  1 
8y 

 1  18 x1  0  1 

Sustituyendo en la ecuación que nos queda dentro de esta opción:
2

81
36
2
9
9 x  4  x 2  9  9 x 2  x 2 9  117 x 2  36  x  
x
4
117
13
4
Por tanto, tenemos dos posibles valores para la variable x:
2

1) x 

2
13

, calculamos el correspondiente valor de 1:

1 

1
13

,
36
 2 
18  



 13 

y como resulta un valor negativo, detenemos los cálculos, puesto que los
multiplicadores no pueden ser negativos.
2
2) x  
, calculamos elcorrespondiente valor de 1 y de la variable y:
13
13
9 2 
9
1 
, y 



36
4  13  2 13
Con lo cual, el punto inicialmente obtenido es:

2
9
13 

,
,
,0 


13 2 13 36



Para concluir que es un punto estacionario, nos queda verificar que cumple las
restricciones de desigualdad de las condiciones necesarias. La primera de ellas la
verifica, puesto que...