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Progresión aritmética
Progresión aritmética-suma de términos-.png

En matemáticas, una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".

Por ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7,... es una progresiónaritmética de constante 2. Así como: 5 ; 2 ; -1 ; -4 es una progresión aritmética de constante "-3".



Índice [ocultar]
1 Término general de una progresión aritmética
2 Interpolación de términos restantes
3 Suma de términos de una progresión aritmética
3.1 Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos
3.2 El término central de una progresiónaritmética
3.3 Suma de todos los términos de una progresión aritmética
4 Citas y referencias
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
Término general de una progresión aritmética[editar]
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética es la expresión quenos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

a_n = a_1 + {(n-1)}{d} \,

Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es a\, y la diferencia común es d\,, entonces el término n\,-ésimo de la sucesión viene dada por

a + nd\,,n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.
a + (n-1)d\, n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.
La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:

a_1, a_2, a_3,..., a_m,..., a_n\, de diferencia d\,

tenemos que:

a_1 = a_1\,
a_2 = a_1 +d\,
a_3 = a_2 + d\,
...
a_{n-1} = a_{n-2} + d\,
a_n = a_{n-1} + d\,
sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:

(I)a_n = a_1 + (n-1)d\,

expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos a_m\, ya_n\, (m0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d=3)
d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.
Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d=0)
d0.

Aplicando (I)

a_{1+k} = a_1 + kd \,

a_{n-k} = a_1 + (n-k-1)d \,

Sumamos y obtenemos:

a_{1+k} + a_{n-k} = 2a_1 + (n-1)d \,

el mismo resultado que el obtenido para a_1 + a_n\,.

Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:

a_1 + a_n = a_{1+k} + a_{n-k} \,

El término central de una progresión aritmética[editar]
En una progresión aritmética con un número impar de términos, término central ac es aquél que por el lugar que ocupa en la progresiónequidista de los extremos a1 y an de ésta.

Sea la progresión aritmética a1, a2, a3,...., ac,...., an-2, an-1, an de diferencia d, y término central ac. De acuerdo con la expresión del término general en (I)

a_c = a_1 + (c-1)d \,

pero para el término central

c = \frac{n+1}{2} \,

sustituímos este valor de c y resolvemos:

(V)a_c = a_1 + \frac{n-1}{2} d \,

y comparando con (IV) esevidente que:

a_1 + a_n = 2a_c \,

Resumiendo, hemos demostrado que:

(VI)a_1 + a_n = a_{1+k} + a_{n-k} = 2a_c = cte \,

Esta propiedad nos va a permitir calcular la suma de todos los términos de una progresión aritmética.

Suma de todos los términos de una progresión aritmética[editar]
La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a veces como serie...