Matemática básica i

Teorema del residuo:

El residuo de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x – a), se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la ¨x¨ por la ¨a¨, y luego evaluando el polinomio P(x) en P(a).

Ejemplos

Sin efectuar la división, hallar el residuo de dividir:

1) x3 – 7x2 + 17x – 6 entre x – 3

Solución: Hacemos el polinomio dividendo igual a P(x), entonces,tendremos:

P(x) = x3 – 7x2 + 17x – 6, luego como el binomio de la forma (x – a) es (x – 3), hacemos el cambio de ¨x¨ por ¨3¨, es decir, el polinomio P(x) se evalúa en P (3), tendremos:

P (3) = (3)3 – 7(3)2 + 17(3) – 6 = 27 – 7(9) + 51 – 6
= 27 – 63 + 51 – 6 = 9.

La comprobación se efectúa realizando la división larga.

2- ) 3x3 – 2x2 – 18x –1 entre x + 2.

P(x) = 3x3 – 2x2 – 18x – 1

Haciendo el cambio en el binomio (x + 2), tendremos:
P (– 2) = 3(– 2)3– 2(– 2)2– 18(– 2) – 1
= 3(– 8) – 2(4) + 16 – 1
= – 24 – 8 + 16 – 1 = 3.

Haga usted la comprobación por medio de la división larga.

Teorema del Factor: Si un polinomio P(x) se anula cuando se sustituye en el ¨x¨ por ¨a¨, entonces decimos que el binomio dela forma (x – a) es factor del polinomio P(x).

Ejemplos

1) Determinar si (x – 3) es factor del polinomio
x3 + 2x2 – 5x – 6.

Solución

P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6, haciendo el cambio de ¨x¨ por ¨3¨, tendremos:

P (3) = (3)3 + 2(3)2 – 5(3) – 6
= 27 + 18 – 15 – 6
= 24.

Como P (3) es diferente de cero (0), entonces decimos que el binomio (x – 3) no esdivisible entre el polinomio P(x).

2) Determinar si (x + 1) es divisible entre el polinomio
x3 + 2x2 – 5x – 6.

Solución

P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6, hacemos el cambio
de ¨x¨ por ¨– 1 ¨, tendremos:

P (– 1) = (– 1)3+ 2(– 1)2 – 5(– 1) – 6
P (– 1) = – 1 + 2 + 5 – 6 = 0. Como la evaluación del polinomio P(x) en P (–1) = 0, entonces podemos decir que el binomio de la forma (x + 1) es factordel polinomio P(x).

Regla de Ruffini o División Sintética

Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla práctica llamada División Sintética o Regla Ruffini¨:

• El cociente es un polinomio en ¨x¨ cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo.
• El coeficiente del primer termino del cociente es igual al coeficiente del primer termino deldividiendo.

• El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor cambiado de signo y sumando este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo.
• El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del cociente por el segundo término deldivisor cambiado de signo y sumando este producto con el término independiente del divisor.

Ejemplos
Hallar, por división sintética o regla de Ruffini, el cociente y el residuo de dividir:

1) x3 – 5x2 + 3x + 14 entre (x – 3)
2) 2x4 – 5x3 + 6x2 – 4x – 105 entre (x + 2)
3) x5 – 16x3 – 202x + 81 entre (x – 4)

Productos Notables: Son ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyoresultado puede escribirse por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Entre los productos notables tenemos El cuadrado de la suma de dos cantidades, cuadrado de la diferencia de dos cantidades, el cubo de la suma de dos cantidades y el cubo de la diferencia de dos cantidades.

Nota: Apréndase bien todas estas reglas, es decir, lo que dice cada una.

1) Cuadrado de la sumade dos cantidades
Es igual al cuadrado de la primera cantidad más dos veces la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos

Desarrollar:

a) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x) (3y) + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2.
b) (4m2 + 3n2)2 = (4m2)2 +2(4m2)(3n2) + (3n2)2
= 16m4 + 24m2n2 + 9n4.

2) Cuadrado de la diferencia de dos...