Matemáticas discretas

Nombre: Jorge Luis Lindao Noriega
Materia: Matemáticas Discretas

Taller#4

Axiomas de Peano

Aunque Richard Dedekind intentó fundamentar los números naturales, basándose en las ideas de lateoría de conjuntos que por aquél tiempo desarrollaba George Cantor, no fue sino Giuseppe Peano (1858-1932), en 1889, quien proporcionó una definición axiomática del conjunto de números naturales. Lohizo mediante cinco axiomas, utilizando tres conceptos primitivos, «cero», «número» (número natural o entero no negativo) y la relación binaria «ser sucesor de(o siguiente a):
Definición (Definiciónaxiomática original de ℕ de Peano)
1.- 0∈ℕ (cero es un número);
2.- (∀a∈ℕ) (suc(a)∈ℕ) (si a es un número, entonces el sucesor de a también es un número);
3.- (∀a∈ℕ) (suc(a)≠0) (cero noes el sucesor de ningún número);
4.- (∀a,b∈ℕ) (suc(a)=suc(b)→a=b) (si los sucesores de dos números son iguales, entonces los números mismos son iguales);
5.-[(S⊆ℕ)∧(0∈S)∧(∀a∈S)(suc(a)∈S)]→(∀a∈ℕ) (a∈S); esto es, S=ℕ (si un conjunto de números S contiene al cero y también al sucesor de cualquier número que pertenezca a S, entonces todo número pertenece a S).

Un enunciado alternativo, y equivalente, de laaxiomática de Peano es la siguiente:
El conjunto de números naturales ℕ, puede definirse recurriendo a una aplicación f: ℕ → ℕ, de tal forma que el par (ℕ, f) verifique las siguientes propiedades:1.- f es inyectiva
2.- Existe un único elemento 0∈ℕ tal que 0∈Imf
3. - [(S ⊆ ℕ) ∧ (0∈S) ∧ (f(S) ⊆ S)] → (∀ a∈ℕ) (a∈S)

Inducción matemática
En matemáticas, la inducción es unrazonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consisteen el siguiente razonamiento:
Premisa mayor: El número entero a tiene la propiedad P.
Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero n tenga la propiedad P implica...