Matemáticas financieras.capitalización

PRÁCTICA Nº1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS MODELO B

1º Se invierte un capital de 3.200.000 € a un determinado tipo de interés simple y por un tiempo determinado,obteniéndose unos intereses de 172.931 €.Si dicho capital se hubiera invertido a un tipo de interés 0.50 % mayor y durante un periodo inferior en 43 días,los intereses resultantes serían 154.301 €.Determinar el tipo de interés y el tiempo alos que estuvo invertido el capital.

Para realizar este problema tenemos que partir de las siguientes ecuaciones:
* Cn = Co (1 + i n )
* I = Cn – Co
* Co + I = Cn
Con estas fórmulas planteamos el problema:
1ª Ecuación : 3.200.000 ∙ ( 1 + i ∙ n/365) = 3.200.000 + 172.931
2ªEcuación : 3.200.000 ∙ [ 1 + (i + 0,005) ∙ (n – 43)/365] = 3.200.000 + 154.301
Nos queda un sistema de dos ecuacionescon dos incógnitas,si multiplicamos los 3.200.000 X 1 y lo pasamos al otro lado de la igualdad nos queda :

13.200.000 ∙ (1 + i ) ∙ n365 = 172.931
23.200.000 [ 1 + (i + 0,005) ∙ ((n-43)365] = 154.301

33.200.000 ∙ i ∙ n = 172.931 ∙ 365
43.200.000 [(i + 0,005) ∙ ( n – 43) = 154.301 ∙ 365

De la ecuación número 3 despejamos i :
(172.000 ∙365)(3.200.000 ∙n )=i

Sustituimos i en la ecuación número4:
[ ( i + 0,005) ∙ (n – 43 )]= (154.301 ∙365)3.200.00
Sustituiremos la i que hemos obtenido en la ecuación anterior :
172.000 ∙365(3.200.000 ∙n)+ 0,005 ∙ (n – 43 ) = (154.301 ∙ 365)3.200.000
Resolvemos esta ecuación haciendo los cálculos necesarios para simplificarlo lo más posible y obtener una ecuación de segundo grado:

(172.931 ∙ 365) + (3.200.000 n ∙ 0,005) ∙ ( n – 43 ) = 154.301 ∙ 365 ∙n;
(63.119.815 – 16.000 n) ∙ (n – 43) = 563.119.865 n;
63.119.815n + 16.000 n2 – 2.714.152.045 – 688.000n – 563.119.865n = 0
Haciendo todas las operaciones pertinentes nos queda la siguiente ecuación de segundo grado :
16.000 n2 + 6.111.950n – 2.714.152.045 = 0

Para resolver esta ecuación y obtener el tiempo al que estuvo invertido debemos aplicar la siguiente fórmula:

n=-b±b2-4ac2a
Por tantotenemos que :

n = -6.111.950 ±6.111.950-4∙16.000 ∙2.714.152.0452 ∙16.000

Tenemos dos resultados posibles,uno negativo y otro positivo,el negativo no nos interesa porque no existen periodos de tiempo negativos.Realizando estos cálculos obtenemos que n = 263 días
Con este resultado sustituimos la “n” en la ecuación que habíamos obtenido como resultado de despejar la i : (172.000 ∙365)(3.200.000 ∙n)= i
Por tanto: (172.000 ∙365)(3.200.000 ∙263) = i = 0.075 i = 7,5 %

A continuación con estos datos procederemos a la comprobación partiendo de esta fórmula : Cn = Co ∙ (1 + i ∙ n)
* 3.372.931 = 3.200.000 ( 1 + 0,075 ∙ 263365) = 3.200.000 + 172.000
* 3.354.301 = 3.200.000 1+0,075+0,05∙ 263365 = 3.200.000 + 154.301
Solución:
365 días ------------ 1 año
263 días ------------ XX = 0,72 años

El tipo de interés al que estuvo invertido el capital fue del 7,5% y el tiempo al que estuvo invertido el capital fue de 0,72 años = n

2º Un individuo dispone de 1.000.000 € para invertir y les ofrecen los siguientes tipos de interés:
* Tanto nominal mensual del 12 %
* Rédito nominal trimestral del 3,10 %
* Tanto efectivo anual del 12,72 %
Determinar laalternativa de inversión más ventajosa :
Partimos de la siguiente fórmula para evaluar las distintas alternativas:
(1 + i) = (1 + i(m))m = ( 1 + j(m)m )m

* Tanto nominal mensual del 12 %:
Tenemos que convertir este porcentaje en tanto efectivo mensual :
I12 = j1212 = 0.01% mensual
Posteriormente calcularemos el tanto efectivo anual:
i = (1 + i12)12 - 1;
i = (1 + 0.01)12 – 1 = 0,1268 = 12,68 %efectivo anual
Para finalizar calcularemos si es la alternativa de inversión más ventajosa mediante la fórmula de capitalización Cn = Co ( 1 + i ∙ n)
Cn = 1.000.000 ∙ ( 1 + 0,1268) = 1.126.800 €
*Cn es el capital final o montante a reembolsar

Rédito nominal trimestral del 3,10 %
En un año hay 4 trimestres por tanto i4 = 3,10 %.
Con esta información debemos calcular el tanto...