matemáticas

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12 SEMEJANZA. TEOREMA DE TALES

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

12.1 Los lados de un rectángulo son 6 y 8 centímetros. ¿Es semejante al de lados 15 y 24 centímetros? ¿Y al
de 12 y 16 centímetros?
15
24
ᎏᎏ, no son semejantes.
En el primer caso, como ᎏᎏ
6
8
12
16
12
En el segundo caso, como ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ, sí son semejantes. Larazón de semejanza es: ᎏᎏ ϭ 2
6
8
6
12.2 Halla la medida de los lados de un triángulo semejante a otro cuyos lados miden 5, 9 y 12 centímetros,
con razón de semejanza igual a 3.
Sean a, b, c las longitudes de los lados del triángulo buscado. Por ser semejantes con razón de semejanza 3, se ha de verificar:
a
b
c
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 3. Luego: a ϭ 5 и 3 ϭ 15, b ϭ 9 и 3 ϭ 27 y c ϭ 12 и 3 ϭ 36
5
912
12.3 Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 15 y 8 centímetros. Si se unen sus puntos medios, ¿resulta un
triángulo semejante a él?
Razona la respuesta.
Al unir los puntos medios de los catetos, obtenemos un triángulo rectángulo de
catetos 4 y 7,5 cm.
La hipotenusa de este triángulo mide, por el teorema de Pitágoras:

17 cm

8 cm

cЈ ϭ

8,5 cm

4 cm

ෆෆ
ෆ
͙42 ϩ 7,52 ϭ͙72,25 ϭ 8,5 cm

La hipotenusa del triángulo inicial mide: c ϭ
15 cm

ෆෆ
ෆ
͙82 ϩ 152 ϭ ͙289 ϭ 17 cm

15
17
8
Como ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 2, sí son semejantes.
7,5
8,5
4

12.4 En un triángulo ABC se traza una recta paralela al lado BC desde un punto B؅ de manera que
AB؅ ‫ ؒ 52,0 ؍‬AB.
¿Cuál es la razón de semejanza?
B

AB
AB
1
La razón de semejanza es: ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 4
ABЈ
0,25 и AB0,25
B’
A

C

12.5 Divide un segmento de 7 centímetros de longitud en partes iguales.
a) En 5 partes iguales.
b) En 8 partes iguales.
G
J

F
I

E

H
G

D
F

C
A

E
D

B
C
A

B

a) Se traza una semirrecta apoyada en uno de los extremos del segmento. Con un compás y una medida cualquiera se señalan
sobre la semirrecta 5 puntos C, D, E, F y G. Se une el últimopunto con el otro extremo del segmento (G con B) y se trazan
las paralelas a GB por cada uno de los puntos. El segmento inicial queda dividido en 5 partes iguales.
b) Se procede de modo análogo, marcando 8 puntos en la semirrecta.
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12.6 Divide un segmento en dos partes de modo que una de ellas sea el triple de la otra.
Explica cómo lo haces.Se traza una semirrecta apoyada en uno de los extremos
del segmento. Con un compás y una medida cualquiera
se señalan sobre la semirrecta 4 puntos C, D, E y F.
Se une el último punto con el otro extremo del segmento
(F con B) y se traza la paralela a FB por E.

F
E
D
C
A

B

12.7 Los lados de un triángulo miden 10, 12 y 8 centímetros, y los de otro, 5, 6 y 4 centímetros. ¿Sonsemejantes?
10
12
8
Sí, ya que ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ. La razón de semejanza es 2.
5
6
4

p
p
p
p
12.8 Estudia si son semejantes los triángulos ABC y A؅B؅C؅, sabiendo que A ؅ ‫ ؍‬A ‫ ,°04 ؍‬B ؅ ‫ ,°56 ؍‬C ؅ ‫.°57 ؍‬
p
No necesariamente. Supongamos que p ϭ 40Њ, p ϭ 90Њ, C ϭ 50. En este caso, ambos triángulos no comparten las medidas
A
B
de sus ángulos, por lo que no son semejantes.

12.9Construye un polígono semejante a cada uno de los siguientes, de razón 0,5.
B

C

B

C

a)
F

E
A

D

A

D

Se traza el segmento AC. A continuación se divide el segmento AB por la mitad, obteniéndose el punto E.
Se traza la paralela a BC por E que corta a AC en F. Finalmente se traza la paralela a CD por F obteniéndose la figura buscada.
B

b)

B
E

A

A

C
D

FC

D

Se procede de modo análogo al caso anterior.

12.10 En la siguiente figura, el segmento AD؆ está dividido en tres partes iguales.
B

B
C

F’

C

F
A

D

D’

D’’

A

D

D’

D’’

Construye a partir de D y D؅ dos figuras semejantes a ella e indica la razón de semejanza de cada una.
Para la construcción a partir de D, se traza el segmento AC. A continuación...