Matemáticas

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Números pares e impares

En matemática, un número par es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k, donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2). Los números enteros que no son pares, se llaman números impares (o nones), y se pueden escribir como 2k+1.1 Los números pares son:  y los impares: .La paridad de un número entero se refiere a su atributo de ser par o impar.2 Comparativamente, dos números son «de la misma paridad» si al dividirlos entre 2, el resto es el mismo, por ejemplo: 2 y 4, o 3 y 7; por el contrario los números 23 y 44 «no son de la misma paridad».
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[editar]Reconocimiento
Si la base de numeración utilizada es un número par (porejemplo, base 10 o base 8), también se podría decir que los números pares son aquellos que son divisibles por 2 da la mitad la cual seria la mitad del primer numero dado, podremos reconocer un número par si su último dígito también es par. De esta manera, es un número impar todo número entero que en base 10 termine en1, 3, 5, 7, 9.
Por ejemplo, el siguiente número en base 10:

es par ya que suúltimo dígito, , también es par. Lo mismo sucede con el siguiente número en base 6:

[editar]Paridad del cero
Artículo principal: Paridad del cero.
El cero es un número par, cumple con la definición así como con todas las propiedades de los número pares.
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[editar]Propiedades aritméticas
Los números pares tienen las siguientes propiedades conrespecto a los impares:

Para demostrarlas, tendremos en cuenta que cualquier número par puede ser escrito como  y cualquier número impar como , siendo  un número entero.

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[editar]Propiedades con respecto a la divisibilidad
* Dos números enteros consecutivos tiene paridad diferente.
* Dados tres enteros consecutivos, dos serán de la mismaparidad y uno de ellos será necesariamente múltiplo de 3. (Parece ser falso, ya que 0, 1, 2 son tres números enteros consecutivos, al igual que -1, 0, 1; 0 y 2 tienen la misma paridad; 1 y -1 tienen la misma paridad, el 0 es múltiplo de 3.)
[editar]Tipos especiales de números pares
* Los números perfectos, al menos todos los que se conocen. Todavía no se sabe si hay alguno impar.
*Los factoriales de un natural diferente de 1 y de 0 y los números primoriales son pares.
* Los números congruentes de Fibonacci son todos pares. Según la definición del mismo Fibonacci (Leonardo de Pisa, Filius Bonacci), que aparece en su libro "Liber Quadratorum" (1225), un número congruente es de la forma m·n (m² - n²), con m y n enteros positivos impares y m > n.
[editar]Tipos especiales denúmeros impares
* Los números primos, con la única salvedad del 2, que es par. Se trata de aquellos números naturales que no tienen otros divisores más que ellos mismos y el 1.
* Los números primos de la forma  , con n un número natural cualquiera, se descomponen de una única manera en suma de dos cuadrados de números enteros. Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea lahipotenusa de un triángulo rectángulo diofántico o diofantino. Estas últimas dos palabras se refieren a triángulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandría, quien estudió los problemas en los que interesa obtener soluciones enteras.
* Los primos de la forma  no pueden expresarse como suma de dos cuadrados enteros, pero sí como diferencia de cuadrados. La raíz cuadradadel cuadrado mayor, o minuendo de la diferencia, es igual a , donde n es el mismo natural que aparece en la expresión del número primo.
[editar]Definiciones en desuso
En el libro 7 de los Elementos de Euclides3 (definiciones 8 a 10) vienen definidas unas clases de números que, aunque hoy en desuso, han sido citadas de forma recurrente en libros históricos de matemáticas.
* Número...