matemático

Sucesiones y funciones divergentes
Nuestro próximo objetivo es ampliar el estudio de los dos tipos de convergencia, o de las
dos nociones de límite, que hasta ahora conocemos: el límite de una sucesión de números reales
y el límite en un punto de una función real de variable real.
Empezamos prestando atención a determinadas sucesiones no acotadas de números reales,
que llamaremos“sucesiones divergentes”. Adaptaremos las reglas sobre cálculo de límites de
sucesiones, para contemplar también la posibilidad de manejar sucesiones divergentes.
Podremos entonces ampliar el conocimiento del límite funcional en dos sentidos. Por una
parte, analizaremos el tipo de comportamiento que puede tener una función cuando la variable
crece o decrece indefinidamente, mediante la noción de“límites en el infinito”. Por otra, en claro
paralelismo con las sucesiones divergentes, estudiaremos también la divergencia de funciones,
explicando este nuevo tipo de comportamiento que una función puede presentar, tanto en un
punto de la recta real como en el infinito.

2.1.

Sucesiones divergentes

Hasta ahora, el estudio de las sucesiones de números reales se ha reducido prácticamente aconsiderar sucesiones acotadas, que ciertamente son las más útiles. Sin embargo, hay preguntas
sobre sucesiones acotadas, o incluso sobre sucesiones convergentes, que no tienen aún respuesta
satisfactoria, precisamente porque no hemos prestado más atención a las sucesiones no acotadas.
Para ver una pregunta concreta del tipo indicado, recordemos que si {xn } es una sucesión de
números reales no nulostal que {xn } → 0, entonces la sucesión {yn } = {1/xn } no está acotada,
pero el recíproco no es cierto. Por ejemplo, tomando
yn = n + (−1)n n + 1 ∀ n ∈ N ,

es decir,

xn =

1
∀n ∈ N
n + (−1)n n + 1

tenemos claramente que la sucesión {yn } no está acotada, ya que {y2n } = {4n + 1}, pero {xn }
no converge a cero, ya que x2n−1 = 1 para todo n ∈ N. Es razonable por tanto la siguientepregunta: ¿qué condición necesaria y suficiente debe cumplir {yn } para tener {xn } → 0? Pues
bien, esta pregunta, y otras más complicadas que podríamos plantear, encontrarán una respuesta
satisfactoria con el estudio de las sucesiones divergentes que ahora vamos a iniciar.
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2. Sucesiones y funciones divergentes

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Tomemos como guía la sucesión {n} de los números naturales, lasucesión {−n} de sus
opuestos y la sucesión alternante {(−1)n n}. Las tres son sucesiones no acotadas, pero muestran
comportamientos especiales que ahora vamos a catalogar.
Se dice que una sucesión {xn } de números reales diverge positivamente, cuando para todo
K ∈ R puede encontrarse m ∈ N tal que, para n m, se tiene xn > K. En tal caso, decimos
también que {xn } tiende a +∞ y escribimos {xn } →+∞. Simbólicamente:
{xn } → +∞ ⇐⇒

∀K ∈ R ∃m ∈ N : n

m ⇒ xn > K

Equivalentemente, {xn } → +∞ cuando para todo K ∈ R el conjunto {n ∈ N : xn

K} es finito.

De forma análoga, decimos que la sucesión {xn } diverge negativamente, o que tiende a −∞,
y escribimos {xn } → −∞, cuando para todo K ∈ R existe m ∈ N tal que, para n m se tiene
xn < K:
{xn } → −∞ ⇐⇒ ∀ K ∈ R ∃ m ∈ N : n m ⇒ xn Equivalentemente, {xn } → −∞ cuando para todo K ∈ R el conjunto {n ∈ N : xn

K} es finito.

Por ejemplo, es evidente que {n} → +∞ mientras que {−n} → −∞. De hecho, para cualquier
sucesión {xn } de números reales, es claro que
{xn } → −∞ ⇐⇒ {−xn } → +∞
Decimos finalmente que una sucesión {xn } es divergente cuando la sucesión {|xn |} diverge
positivamente. Es claro que si {xn } → +∞ o {xn} → −∞, entonces {xn } es divergente, pero
el recíproco no es cierto. Por ejemplo la sucesión {xn } = {(−1)n n} es divergente, puesto que
{|xn |} = {n}, pero {xn } no diverge positivamente, porque el conjunto {n ∈ N : xn 0} es
infinito, y tampoco diverge negativamente, porque {n ∈ N : xn 0} también es infinito.
Merece la pena hacer un par de observaciones sobre las nociones recién...

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