MATEM TICAS 6






MATEMÁTICAS









ÍNDICE GENERAL
1. ALGEBRA
1.1 DESIGUALDADES
1.2 ECUACIONES
1.3 PROGRESIONES ARITMETICAS
1.4 PROGRESIONES GEOMETRICAS
1.5 SISTEMAS DE DESIGUALDADES
1.6 SISTEMA DE ECUACIONES
1.7 VECTORES
2. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
2.1 COMBINACIONES
2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN
2.3 PROBABILIDAD
3. FUNCIONES
3.1 FUNCIÓN CUADRÁTICA
3.2 FUNCIÓN LINEAL
4. GEOMETRÍA
4.1 ELIPSE
4.2 HIPÉRBOLA4.3 PARÁBOLA
5. PROGRAMACIÓN LINEAL
5.1 APLICACIONES
5.2 ELEMENTOS






















1. ÁLGEBRA













1.1 DESIGUALDADES



1.1 DESIGUALDADES

Resumen

Desigualdad Matemática: En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementosde un gconjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
La notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b;
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".
La notación a ≤ b significa a es menor oigual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;
Esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Talexpresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Propiedades de las Desigualdades: Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientessímbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Transitividad
Adicción y sustracción
Multiplicación y división
Opuesto
Recíproco
Desigualdades.

Desigualdades lineales
Ejercicio 1


Solución: (- 8, +∞)





Ejercicio 2


Solución: (-∞, 4]




Ejercicio 3

Solución:






Ejercicio 4


Multiplicando por el m.c.m. = 10


Solución:



Ejercicio 5


De donde:


De los factores (3x-1) y (x+5), los númeroscríticos son:




Elaboremos una tabla para analizar las posibles soluciones:

Intervalos
Número de prueba
k
Signo de
-5x + 7
Signo de
3x - 1
Signo de
x + 5
Signo de

Solución

- 6
+
-
-
+
N0

0
+
-
+
-
SI

1
+
+
+
+
NO

2
-
+
+
-
SI

La solución está dada por aquellos intervalos que cumplan que (números negativos en la sexta columna).

Solución:





Ejercicio 6


Los números críticos son: x = 3 y x= 1

Analizando posibles soluciones:

Intervalo
k
Signo de
x - 3
Signo de
x - 1
Signo de

Solución
(- ∞, 1)
0
-
-
+
NO
(1, 3)
2
-
+
-
SI
(3, ∞)
4
+
+
+
NO

La solución está dada por los intervalos que cumplan que , (signo negativo en la quinta columna).

Solución: [1, 3]








Ejercicio 7


Como no se puede factorizar, es decir, tiene raíces irracionales, entonces utilizamos la fórmula generalpara ecuaciones cuadráticas:



Analizando las posibles soluciones:

Intervalo
k
Signo de

Solución

-1
+
NO

0
-
SI

2
+
NO


La solución es:






Ejercicio 8

Por propiedad


La solución es:
Ejercicio 9


Dividiendo entre


Solución: x = 1 y x = 3

Ejercicio 10


Por propiedad:



Solución: (-1, 8)










Ejercicio 11


Por propiedad:



Solución:





Ejercicio 12

Analizandoposibles soluciones:

Intervalo
k
Signo de
x - 4
Signo de
x + 1
Signo de
(x – 4) (x + 1)
Solución
(- ∞, -1)
- 2
-
-
+
SI
(-1, 4)
0
-
+
-
NO
(4, ∞)
5
+
+
+
SI





Los números críticos son: x = - 2 y x = 5

Analizando posibles soluciones:

Intervalo
k
Signo de
x - 5
Signo de
x + 2
Signo de
(x – 5) (x + 2)
Solución
(- ∞, -2)
- 3
-
-
+
NO
(-2, 5)
0
-
+
-
SI
(5, ∞)
6
+
+
+
NO

La solución está dada por...