matematica 2

Cu00e1lculo II

TEMA
APLICACIONES
DE LA
INTEGRAL
DEFINIDA



Departamento de
Matemática Aplicada

U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO II



Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al
estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de las aplicaciones de la integral definida.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoríacorrespondiente que sirve de
repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y
propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,
también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo
más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo II en
Ingeniería.INDICE GENERAL
U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO II



TEMA 4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.1.

Área entre dos curvas

171

4.2.

Volumen de un sólido de revolución

174

4.3.

Método de los discos para el cálculo del volumen

175

4.4.

Método de los cilindros para el cálculo del volumen

176

4.5.

Método de las secciones de área conocida

180

4.6.Ejercicios resueltos

181

4.7.

Longitud de arco de una curva

186

4.8.

Área de una superficie de revolución

188

4.9.

Ejercicios

189

4.10. Momentos y centro de masa de una región plana

195

4.11. Centro de masa de una curva plana

196

4.12. Teoremas de Pappus

197

4.13. Ejercicios resueltos

198

4.14. Ejercicios propuestos

204

G

ÁREAENTRE DOS CURVAS
U.C.V.

F.I.U.C.V.

Aplicaciones de la
Integral Definida
Pág.: 171 de 210

CÁLCULO II – TEMA 4



4.1. ÁREA ENTRE DOS CURVAS
Ya se ha visto que si f(x) es positiva en a,b  entonces



∫

b

f(x)dx
a

representa el área de la región limitada por f(x) sobre a,b  .


Suponga que se tiene una región limitada por las curvas y = f(x) e y = g(x) dondef(x)
y g(x) son funciones continuas definidas en a,b  con f(x) ≥ g(x) para cada x en a,b  (ver




figura 1).

Figura 1. Región limitada por f(x) y g(x) en [a,b]

Para calcular su área se considera por separado las áreas limitadas por y = f(x) e

y = g(x) . Se tiene que el área limitada por f(x) y g(x) en el intervalo a,b es



área =

∫

b

 f(x) − g(x) dx

a

Si las curvas que limitan la región son funciones de y, digamos x = f(y) , x = g(y)
definidas en c, d con f(y) ≥ g(y) entonces el área de la región viene dada por



ÁREA ENTRE DOS CURVAS
U.C.V.

Aplicaciones de la
Integral Definida
Pág.: 172 de 210

CÁLCULO II (0252) – TEMA 4



F.I.U.C.V.

área =

∫

d

f(y) − g(y) dy


c

Ejemplo 1. Halle el área dela región R limitada por las gráficas de las ecuaciones
(x − 2)2
2
2
y=
−1 ; y = x +
; x = 4.
9
5
5
Solución.
Gráficamente se tiene que (ver figura 2)

Figura 2. Región del ejemplo 1

Área =

∫

4

2

2 (x − 2)2
235
+ 1 dx =
.
 x+ −
5
5
9
27




−1

Ejemplo 2. Halle el área de la región R señalada en la figura 3, que está limitada por las
gráficas delas ecuaciones
x2
x
y=
− 2x + 1 ; y = + 1 ; y = −x + 5 .
2
3
Solución. (ver figura 3)

Área de R1 =

∫

3

0

x

x2
+ 2x − 1 dx = 6 , Área de R2 =
 +1−
2
3




∫

Área de R = Área de R1 + Área de R 2 = 6 +

4

3



x2
31
+ 2x − 1 dx =
 −x + 5 −
2
3





31 49
.
=
3
3

ÁREA ENTRE DOS CURVAS
U.C.V.

Aplicaciones de laIntegral Definida
Pág.: 173 de 210

CÁLCULO II (0252) – TEMA 4



F.I.U.C.V.

Figura 3. Región del ejemplo 2

Ejemplo 3. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de las ecuaciones

y2 = x ; y = −x + 2 .
Solución.
La representación gráfica es la siguiente (ver figura 4)

Figura 4. Región del ejemplo 3

Área =

∫

1
2

2 − y − y dy =


−2

∫

1

2 x...