matematica 2

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT
IQUIQUE – CHILE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

INTEGRALES

MARIA ELISA VODNIZZA LIRA
e-mail : mvodnizz@cec.unap.cl
url
: www.unap.cl/~mvodnizz

SEPTIEMBRE - 2003

UNIVERSIDAD ARTURO PRAT
IQUIQUE – CHILE
DEPTO. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

INTEGRALES
Uno de los problemas importantes en Cálculo es la determinación de la
antiderivadade una función dada, es decir encontrar la función primitiva de la
cual se conoce su derivada
Una antiderivada o primitiva de la función f es una función F tal que F’(x) = f(x)
siempre y cuando f(x) esté definida.
Ejemplo
Dada la función f(x) = 3x 2 , entonces F(x) = x 3 es una antiderivada o primitiva

( )

d
x 3 = 3x 2 , también son antiderivadas de f(x) = 3x 2 las
dx
1
funcionesG(x)= x 3 + 17, H(x) = x 3 - 20,
T(x) = x 3 etc.
2

de f(x), ya que

Si F’(x) = f (x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva P
de f en I tiene la forma
P(x) = F(x) + C donde C es una constante.
Integral Indefinida
La expresión ∫ f ( x )dx representa la integral indefinida de f(x) con respecto de la
variable x.
Así si F es cualquier primitiva de f en el intervaloI, entonces la primitiva más
general de f en I tiene la forma F(x) + C
Entonces

∫ f ( x )dx

= F ( x) + C

⇔

d
(F ( x ) + C )= f ( x )
dx

El símbolo de la integral ∫ es una letra S alargada que corresponde a una
sumatoria como se verá cuando se trate el tema de la integral definida.

Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

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DEPTO.DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

Ejemplos
Calcular las siguientes integrales
1)

∫

dx
dx = ln x + C
x

⇔

(ln x + C )' = 1

x

2) ∫ Cos x dx = Sen x + C ⇔ (Sen x + C )' = Cos x
Esta claro que para encontrar una antiderivada de una función dada, es necesario
recordar las derivadas de las distintas funciones estudiadas anteriormente.
Propiedades.
De las propiedadesestudiadas para las derivadas se deduce que:
a) ∫ [ f ( x ) + g( x ) − t ( x )]dx = ∫ f ( x )dx +

∫ g( x )dx

−

∫ t ( x )dx

b) ∫ k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
De cada una de las fórmulas fundamentales de derivación, podemos deducir una
fórmula elemental de integración, las que se pueden probar derivando el segundo
miembro de la igualdad.
INTEGRALES INMEDIATAS
u n +1
+c
1) ∫ u du=
n+1
n3)

u
u
∫ e du=e + c

5)

∫ Senu du=− Cos u+ c

Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

2)

du
∫ u =ln u + c

4)

 1  u
u
a
du
=
a + c

∫
 ln a 

6)

∫ Cos u du= Senu+ c

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7)

∫ Sec

9)

∫ Sec u tg u du= Sec u+c

11)

∫

13)

∫u

2

u du= tg u+ c u
= arc sen  + c
a
a 2 − u2
du

8)

∫ Co sec u du= − cot g u+ c

10)

∫ Co secu cot g u du=− cos ec u + c

12)

du
1
u
=
arc
tg
 + c
2
∫ a +u a
a

2

2

1
u
= arc sec  + c
a
u2 − a 2 a
du

Ejercicios Resueltos

[

]

1) Calcular ∫ 4 x 2 + 5 x − 6 dx = 4 ∫ x 2dx + 5 ∫ x dx − 6 ∫ dx Propiedades a) y b)

=
2) Calcular ∫

4 3 5 2
x + x− 6x + C
3
2

Fórmula 1

8x − 3
dx
4x − 3x + 5
2

Cuando en el integrando se presenta el cuociente de dos polinomios, es
conveniente calcular la derivada del denominador y tratar de formarla
en el numerador.
Haciendo u = 4 x 2 − 3 x + 5 , du = (8 x − 3) dx entonces

∫ 4x

8x − 3
dx =
− 3x + 5

2

3) Calcular

∫

∫

du
= ln u + C
u

= ln 4 x 2 − 3 x + 5 + CFórmula 2

x3 + x2 + x + 2
dx
x +1

No parece corresponder a ninguna de la fórmulas de integrales inmediatas,
pero dividiendo los polinomios tenemos:

(x

3

)

+ x 2 + x + 2 ÷ (x + 1)= x 2 + 1

Profesora: María Elisa Vodnizza Lira

resto 1

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x3 + x2 + x + 2
1
La fracción
= x2 + 1 +...