matematica financiera

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Introducción a las Matemáticas Financieras

Carlos Mario Morales C ©2012

1

Anualidades y
gradientes
UNIDAD 3: ANUALIDADES Y GRADIENTES
OBJETIVO
Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de calcular operaciones
financieras en las cuales la contraprestación se hace a través de cuotas periódicas. Para
esto deducirá los modelos matemáticos paracalcular el valor actual, futuro, interés y
número de pagos para diferentes tipos de operaciones y aplicará estos en situaciones de
la vida empresarial.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Anualidades
Anualidades anticipadas
Anualidades diferidas
Anualidades perpetuas
Gradientes
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos

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CONTENIDO

2

1. Ejercicios resueltosUn padre de familia cuando su hijo cumple 12 años hace un depósito de $X en una
fiduciaria con el objeto de asegurar sus estudios universitarios, los cuales se
iniciara al cumplir 20 años. Se estima que para esa época el valor de la matrícula
anual de la universidad va ser de $3´000.000 y no sufrirá modificaciones durante
los seis años que duraran sus estudios, ¿Cuál deberá ser el valor deldepósito $X?
Suponga que la fiducia le reconoce una tasa de interés del 30% anual.
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: $3 millones
o Numero de pagos: 6, a partir del año 12
o Tasa de interés efectiva anual: 7%
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:

3 millones

0

1

12

13

7
19

8
20

9
21

10
22

11
23

12
24

13
26i = 30% EA
𝑽𝒑

¿?

Cálculos
Para calcular el deposito se calcula el valor presente 𝑉 𝑝7 de la anualidad,
aplicando la formula (23) y el resultado se traslada al periodo 0, es decir cuando el
hijo cumple 12 años, utilizando la formula (12)
𝑉𝑝
𝑉𝑝

(

[

[

)

(

]
)

]

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6.1

3

𝑉

𝑉𝑝
𝑉𝑝

(

)

)7

(

Respuesta
El deposito quedeberá hacer el padre de familia es:

Una pequeña empresa solicita un préstamo el día 1 de marzo de 2010 y acuerda
efectuar pagos mensuales de $1´200.000, desde el 1 de octubre de 2010, hasta el
1 de agosto de 2011. Si el banco aplica una tasa de interés del 3.5% efectivo
mensual, ¿Cuál será el valor del préstamo?
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: $1´200.000
o Numero de pagos: 11,a partir del 1 de octubre
o Tasa de interés efectiva mensual: 3,5%
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
1´200.000

01.10.10
𝑽𝒑

i = 3,5% EM

01.08.11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
01.03.10
¿?

Cálculos
Para calcular el préstamo se calcula el valor presente 𝑉 𝑝 de la anualidad,
aplicando la formula (23) y el resultado setraslada al periodo 0, es decir el 01 de
marzo del 2010, utilizando la formula (12)
𝑉𝑝

[

(

)

]

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6.2

4

𝑉𝑝

(

[

𝑉𝑝
𝑉𝑝

(

)

]

𝑉
(

)

)

Respuesta
El préstamo será de:

6.3 Un inversionista que depositó el primero de abril de 2010, $10 millones, en un
fondo que paga un interés del 6% N-s ¿Cuántos retiros semestrales de $800.000podrá hacer, si el primer retiro lo hace el primero de abril de 2013?
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: $800.000
o Tasa de interés: 6% N-s
o Periodos semestrales
Representación gráfica
En la siguiente gráfica se representa la operación:
800.000

𝑽𝒑

𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

4

5

6

7

8

9…

n…

01.04.13

3

01.04.12

2

01.04.11

1

01.04.10

0

j = 6% N-sPara calcular el número de retiros, inicialmente llevamos el deposito inicial hasta
seis meses antes de iniciar lo retiros, es decir el 01 de abril del 2013; esto con el
fin de configurar la anualidad, para esto se utiliza la formula (11)
Tasa de interés efectiva se calcula a partir de la formula (15)

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Cálculos

5

Numero de periodos: 5 periodos (semestres)...