Matematica II

Serie armónica
En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:

Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...
Divergencia de la serie armónica 
La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie sumanmenos de 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:


Que está claro que diverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme (1350), fue un gran paso para las matemáticas medievales.
Otras series, como la suma de los inversos de los númerosprimos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí).
Convergencia de la serie armónica alternada 
La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.
Serie telescópica
Serie tal que cada término se expresa como una diferencia de la forma an = bn - bn+1.
Teorema
Suma de una serietelescópica
Sean an y bn dos sucesiones tales que an = bn - bn+1.
La serie telescópica Σ an converge si y sólo si la sucesión bn converge y se cumple que Σ an = b1 - L donde L = lim bn+1.
Demostración:
Sn = Σ an = Σ (bn - bn+1) = (b1 - b2) + (b2 - b3) + ... + (bn - bn+1) = b1 - bn+1
Lim Sn = lim b1 - lim bn+1
Por lo tanto Σ an converge si y sólo si bn converge, y en ese caso su suma es b1 - L,donde L = lim bn+1. (Si bn diverge, Σ an también).
Ejemplo: Sn = Σ 1/(n2 + n)
An = 1/(n2 + n) = 1/n - 1/n+1
Bn = 1/n converge a 0
=> Σ 1/(n2 + n) converge a 1 - lim 1/n+1 = 1
Criterio de la integral
Este criterio relaciona los conceptos de divergencia y convergencia de una integral impropia con los mismos de una serie infinita. Es para funciones continuas, no negativas y decrecientes.Criterio de la comparación directa

Si bn converge, y an ≤ bn para todo valor entero positivo n
Entonces an converge
 Si bn diverge, y an ≤ bn para todo valor entero positivo n entonces an diverge
Criterio de la comparación del límite
1.- si l es una constante positiva, entonces  ambas series convergen o divergen.
2.- si l=0 y bn converge, entonces an también converge
3.- si l=∞ y bn diverge,entonces an  también diverge
Criterio de la razón

Si l>1 o ∞ diverge
Si l < 1 converge
Si l=1 no concluye
 
• Una serie es una suma infinita, o la suma de una sucesión. Se escribe X∞
n=1
an, donde la sucesión es {an}, y an se llama el termino general de la
Sucesión y de la serie. OJO: No se puede confundir la sucesión con la serie
(Que es su suma).
• Las series se clasifican, según sucarácter, en
– Convergentes. Si la suma converge a una n. real.
– Divergentes. Si la suma converge a +∞ o −∞.
– Oscilantes. En otro caso.
• Una serie de términos todos del mismo signo solo puede ser convergente o
Divergente. Nunca será oscilante.
C. Necesario de convergencia: X∞
n=1
An convergente ⇒ limn→∞
An = 0.
• Notese que según lo anterior, si limn→∞
An 6= 0, entonces la serie X∞
n=1An NO
Es convergente.
• Este criterio, puede ser lo primero que comprobemos en un problema de
Series.
C. de Cauchy o de la raız: Sea X∞
n=1
An un s.t.p. y λ = limn→∞
√n an.
• Λ < 1 ⇒
X∞
n=1
An converge. Λ > 1 ⇒
X∞
n=1
An diverge. λ = 1 ⇒ ?.
C. de D’Alember o del cociente: Sea X∞
n=1
An un s.t.p. y λ = limn→∞
An+1
An
.
• Λ < 1 ⇒
X∞
n=1
An converge. Λ > 1 ⇒
X∞
n=1
Andiverge. λ = 1 ⇒ ?.
 Criterio por Comparacion
Son aplicables en caso de disponer de otra serie  tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica. Entonces:

Criterio de comparación directa ( de la mayor ante o de Gauss ) 

Si 
Si  converge  converge
Si  diverge  diverge
Criterio de comparación por paso al límite del cociente 


Entonces:
Si L = 0...