matematica

Cálculo II (0252)
Semestre 1-2011

TEMA 5

SERIES
NUMÉRICAS

Semestre
1-2011

José Luis Quintero
Julio 2011

Departamento de
Matemática Aplicada

U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO II (0252)

Prof.
José Luis Quintero

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al
estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de series numéricas.

Laguía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de
repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y
propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,
también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo
más didáctico posible y se espera prestar unapoyo a la enseñanza del Cálculo II en
Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora
del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:
quinterodavila@hotmail.com.

INDICE GENERAL
U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO II (0252)

Departamento de
Matemática Aplicada
Prof.
José Luis Quintero

TEMA 5. SERIESNUMÉRICAS
5.1.

Sucesiones

211

5.2.

Serie infinita

215

5.3.

Serie geométrica

218

5.4.

Serie telescópica

219

5.5.

Criterio de la integral

221

5.6.

Serie alterna

223

5.7.

Convergencia absoluta y convergencia condicional

224

5.8.

Criterios de comparación

226

5.9.

Criterio de la razón

229

5.10. Criterio de la raíz

2315.11. Problemas propuestos

233

G

Series Numéricas
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SUCESIONES
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José Luis Quintero

CÁLCULO II (0252) – TEMA 5

5.1. SUCESIONES
La importancia en el Cálculo de las sucesiones y series infinitas surge de la idea de
Newton de representar las funciones como sumas de series infinitas. Por ejemplo, al
determinar áreas, a menudointegraba una función expresándola primero como una serie y
después integrando cada término de la serie.
Muchas de estas funciones que surgen en la física matemática y en la química, como
las funciones de Bessel, se definen como sumas de series, por lo tanto, resulta importante
familiarizarse con los conceptos básicos de convergencia de sucesiones y series infinitas.
Definición 1. Una sucesión esuna función cuyo dominio es el conjunto {1, 2,3,4,...,n,...} de
todos los números enteros positivos.
Los números del contradominio de una sucesión se denominan elementos. Una
sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.
Ejemplo 1. Sea f la sucesión definida por
n
f(n) =
, n = 1,2,3,... .
2n + 1
Se tiene que f es una sucesión y
f(1) = 1 , f(2) = 2 , f(3)=
3
5

3
7

, f(4) =

(1)

4
9

, f(5) =

y así sucesivamente. Los elementos de la sucesión definida por f son

1
3

5
11

,

2
5

,

3
7

,

4
9

,

5
,
11

etc ; y

la sucesión es la (1).
Puesto que el dominio de cada sucesión es el mismo, puede emplearse la notación
{f(n)} para denotar una sucesión. Así, la sucesión (1) puede denotarse por {n /(2n + 1)} .
También se utiliza la notación de subíndice {an} para expresar una sucesión para la cual
f(n) = an .

Definición 2. Una sucesión {an } tiene límite L si para cualquier ε > 0 existe un número
N > 0 tal que si n es un número entero y si n > N entonces an − L < ε y se escribe

lím an = L .

n → +∞

SUCESIONES
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CÁLCULO II (0252) – TEMA 5

SeriesNuméricas
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José Luis Quintero

Ejemplo 2. Siendo

an =

1
n2

,

se tiene que

lím

n → +∞

1
n2

=0

por lo tanto se tiene que la sucesión es convergente.
Ejemplo 3.

10n
= +∞
n → +∞ n
lím

por lo tanto la sucesión

10n 




n



diverge.
Ejemplo 4.

lím sen(n)

n → +∞

no existe por lo tanto la sucesión

{sen(n)}...