matematica

TEMA 7

Ejercicios / 1

TEMA 7:
PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO
y+1
y
1. Calcula el ángulo que forman las rectas x + 1 =
= z y x−2 =
= z+1
5
5
4
−4
3
−3

SOLUCIÓN:
Como los vectores directores u3, 4, 5 y v −3, −4, 5 son perpendiculares, las rectas son por
tanto perpendiculares, es decir forman ángulo de 90 o .

2. Dadas las rectas r ≡ 2x = y = z y s ≡ 2x − 4 = y − 1 = z+ 3. Halla el ángulo que forman
y si existe el plano que las contiene.

SOLUCIÓN:
La ecuación continua de las rectas es:
x = y = z y x−2 = y−1 = z+3
1
1
1
1
1
1
2
2
Los vectores directores de las rectas son iguales, por tanto las rectas son paralelas o
coincidentes. Si consideramos un punto cualquiera de la primera recta, por ejemplo el punto
P0, 0, 0 podemos comprobar que noverifica la ecuación de la segunda, por tanto las rectas
son paralelas.
En cuanto al plano que las contiene, dicho plano estará determinado por
π ≡ P0, 0, 0, u 1 , 1, 1 , v 2, 1, −3 . Siendo P un punto culaquiera de una de las rectas
2
(en este caso de la primera recta), u el vector director de las rectas y v el vector que va desde
el punto P0, 0, 0 de la primera recta, hasta el puntoQ2, 1, −3 de la segunda.
La ecuación general del plano π será:
x
1
2
2

y z
1 1

= 0  −4x + 7 y − 3 z = 0
2
2

1 −3

3. Calcula el ángulo que forman los planos α ≡ x − y − 3z − 1 = 0 y β ≡ 3x + 2y − z + 3 = 0

SOLUCIÓN:
Los vectores normales de dichos planos son n α 1, −1, −3 y n β 3, 2, −1 luego:

Isabel Rodríguez Fernández

TEMA 7

Ejercicios / 2

cos α =

nα ⋅nβ
nα nβ

=

|3 − 2 + 3|
=
1+1+9 9+4+1

4
= 0.322
11 14

α ≅ 71 o 11 ′ 46 ′′

4. Halla el ángulo que forma el plano α ≡ 3x + y − 2z + 7 = 0 y la recta
x − 2y − 8 = 0
r≡
3x + z + 8 = 0

SOLUCIÓN:
Necesitamos para determinar el ángulo, el vector director de la recta. Obtenemos para ello,
las ecuaciones paramétricas de la misma, que serán
x=t
y=

1
2

t−4

z = −3t − 8Por tanto el vector director es u 1, 1 , −3 . De la ecuación general del plano, obtenemos el
2
vector normal del mismo, n3, 1, −2.
El ángulo α que forman la recta y el plano verifica que:
19
3+ 1 +6
n⋅u
2
19
2
senα =
=
=
=
= 0.793
n |u |
14 41
9+1+4 1+ 1 +9
14 41
4
4
α ≅ 52 o 28 ′ 15 ′′

5. Plano que pasa por el punto P3, −2, 1 y es perpendicular a r ≡

2x + y − z = 0x−y+z+3 = 0

SOLUCIÓN:
El plano pedido tendrá como vector normal, el vector director de la recta. Calculamos el
vector director de la recta, multiplicando vectorialmente los vectores normales de los planos
de su ecuación reducida:
u = nα × nβ =

1

−1

−1 1

i −

2

−1

1

1

La determinación normal del plano pedido es α ≡
ecuación general será

Isabel Rodríguez Fernándezj +

2 1
1 −1

k = −3 j − 3 k

P3, −2, 1, n0, −3, −3 , por tanto su

TEMA 7

Ejercicios / 3

0x − 3 − 3y + 2 − 3z − 1 = 0
− 3y − 3z − 3 = 0

6. Ecuación de la recta que pasa por P2, −1, 5 y es paralela a los planos α ≡ x − 3y + z = 0
y β ≡ 2x − y + 3z − 5 = 0

SOLUCIÓN:
Si la recta pedida, es paralela al plano α, su vector director será perpendicular al vectornormal de α.
Análogamente el vector director de la recta pedida, será también perpendicular al vector
normal del plano β.
Por tanto un vector director de la recta pedida, será el producto vectorial de los vectores n α y
nβ.
u = nα × nβ =

−3 1
−1 3

i −

1

1

2

3

j +

1 −3
2 −1

k = −8 i − 1 j + 5 k

La determinación de esta recta será r ≡ P2, −1, 5, u−8, −1, 5
Laecuación continua de r
x−2 = y+1 = z−5
5
−1
−8

7. Plano que pasa por los puntos A2, 2, −1 y B4, 0, 2 y es perpendicular al plano
α ≡ x − 5y + 2z − 6 = 0

SOLUCIÓN:
La determinación lineal de dicho plano será π ≡
tanto su ecuación general

A2, 2, −1, AB2, −2, 3, n1, −5, 2 . Por

x−2 y−2 z+1
2

−2

3

1

−5

= 0  11x − y − 8z − 28 = 0

2

8. Plano...