Matematica

MATEMATICA
MATEMATICA I
f’(x)>0
f’(x) 0.
Elementos
Elementos que conforman el entorno; centro “a” y radio o extensión “ δ ”
Notación: El entorno se nota con una letra N mayúscula y a continuación
se coloca el centro y el radio tal como sigue: N (a; δ ) ó también N δ (a )
Grafica:
Grafica: Ejemplo de una grafica para un entorno de centro 4 y radio 3

δ
Ι
0

(
1

Ι
2

Ι
3

Ι4
a

Ι
5

Ι
6

)
7

Ι
8

Ι
9

ℜ

Definición formal: La definición formal para un entorno de centro “a” y
radio δ es como sigue:

N (a; δ ) = {x / x ∈ ℜ ∧ x − a < δ }
Ejemplo:
Ejemplo:
1.- Defina y grafique un entorno de centro 1 que contenga al siguiente
conjunto:

{

}

C = x / x ∈ℜ ∧ x3 − x = 0

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Guia de Estudio. Matematica I. Faces U.C [V6]

Prof.Magdiel Acosta Noy

Solución:
Solución:
El primer paso es determinar quien es el conjunto “C”, tenemos:
x3 − x = 0

( x)( x 2 − 1) = 0

( x) = 0

{

( x 2 − 1) = 0

x 2 = 1 x = ±1

}

Por lo tanto C= − 1 ; 0 ; 1 . Ahora bien, dado que el centro se indica que
esta en el valor 1, determinamos cual de los elementos de C está mas
alejado de dicho valor, es el -1, y está a 2 unidades,por lo tanto δ deberá
ser mayor a 2 unidades para contener a todo el conjunto C. Supongamos
entonces que fijamos un δ igual a 3. Entonces, la definición formal de
nuestro entorno N (1 ; 3) será como sigue (sustituyendo en la definición
formal los parámetros centro y radio):

N (1 ; 3) = {x / x ∈ ℜ ∧ x − 1 < 3}
Y la grafica de nuestro N (1;3) será:

Ι
-3

(
-2

Ι
-1

Ι
0

Ι
1a

Ι
2

Ι
3

)
4

Ι
5

Ι
6

ℜ

Entorno
Entorno Reducido:
Es un intervalo abierto de centro “a” y radio δ , donde δ > 0, y donde el
entorno.
centro se excluye del entorno.
reducido;
Elementos que conforman el entorno reducido;

centro “a” y radio o

extensión “ δ ”
Notación: El entorno reducido se nota con una letra N* (mayúscula con
asterisco) y a continuación secoloca el centro y el radio tal como sigue: N*
(a; δ ) ó también N *δ (a )

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Guia de Estudio. Matematica I. Faces U.C [V6]

Prof. Magdiel Acosta Noy

Grafica:
Grafica:

Ejemplo de una grafica para un N* de centro 4 y radio 3 (Note

que el centro 4, está excluido del intervalo abierto)

δ
Ι
0

(
1

Ι
2

)Ι(

Ι
3

4
a

Ι
5

Ι
6

)
7

Ι
8

Ι
9

ℜDefinición formal: La definición formal para un entorno reducido de centro
“a” y radio δ es como sigue:

N * (a;δ ) = {x / x ∈ ℜ ∧ 0 < x − a < δ }
Ejemplo:
Ejemplo:
2.- Defina y grafique un N * (a ; 4) que contenga al siguiente conjunto:

{

}

C = x / x ∈ ℜ ∧ x 2 −1 < 0

Solución:
Solución:
El primer paso es determinar quien es el conjunto “C”, tenemos:
x 2 −1 < 0

es unainecuación cuya solución es el intervalo abierto (-1; 1)

Por lo tanto C= (-1; 1).

Ahora bien, dado que el enunciado indica que el

radio deber ser 4 determinamos donde fijar el centro “a”, recordando que
en el N* este está excluido del entorno. Fijamos el centro en

2 y así,

puesto que el radio es de 4 unidades, contendrá a todo el conjunto C.
Entonces, la definición formal de nuestro entornoN * (2 ; 4) será como
sigue (sustituyendo en la definición formal los parámetros centro y radio):

N * (2 ; 4) = {x / x ∈ ℜ ∧ 0 < x − 2 < 4}

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Guia de Estudio. Matematica I. Faces U.C [V6]

Prof. Magdiel Acosta Noy

Y la grafica de nuestro N * (2 ; 4) será:

Ι
-3

(
-2

Ι
-1

Ι
0

)Ι(

Ι
1

Ι
3

2
a

Ι
4

)

Ι
5

6

Ι
7

Punto
Punto deacumulación:
Se dice que un valor x 0 es punto de acumulación de un conjunto C, si y
solo si para todo entorno reducido de centro x 0 , existe por lo menos un
elemento que simultáneamente pertenezca al entorno reducido y al
conjunto C.
x 0 es punto de acumulación de C ⇔ ∀N * ( x 0 ; δ ); ∃x / x ∈ N * ∧ C

Ejemplos gráficos:
Eje
Ejemplos gráficos:
En los ejemplos 1 a 4, el valor x 0 es punto de...