Matematica

UNIVERSIDAD SANTA MARIA
NUCLEO ORIENTE
ESTADO ANZOATEGUI
FACULTAD: BASICO DE FACES
DERECHO ECONÓMICO

Ecuaciones diferenciales

Integrantes:
Rodriguez Carennys C.I. 21.176.430
González Mary C.I. 19.926.082
Viloria José C.I. 20.302.394
BARCELONA, JUNIO 2012.
Ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variablesindependientes, dependientes, y la derivada de esta última, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
1. Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
2. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivas respecto a dos o más variables.
Por ejemplo:
La ecuación δx δt – kx es una ecuación diferencial, quepor cierto representa la desintegración radioactiva de una sustancia a través del tiempo.
Así mismo, la ecuación δ4 yδx4 w(x) es una ecuación diferencial que modela la desviación que experimenta una viga con respecto a su eje de simetría.
Como se ven, existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, por lo que se hace necesarios realizar una clasificación de ellas.
Clasificación deecuaciones diferenciales
Clasificación según el tipo: Cuando una ecuación diferencial contiene una o más derivadas de una función desconocida con respecto a una sola variable, es decir solo derivadas ordinarias, entonces se está en presencia de una ecuación diferencial ordinaria, por ejemplo:

y y – xy cosx dydx – yx
En cambio si la ecuación posee una o más derivadas de una funcióndesconocida con respecto a dos o más de una variables, entonces es una ecuación diferencial en derivadas parciales, por ejemplo:
δ2zδx2 δ2zδy2 0
Clasificación segundo su orden: El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que tiene la ecuación, por ejemplo:
dydx – δ2yδx2 x2 , es de segundo orden.
y – y 0, es de tercer orden.Clasificación según su linealidad: Una ecuación diferencial es lineal, si se puede escribir de la forma:
anxyn an–1 xyn–1 … a2xy a1xy a0 xy gx
Esto implica que debe cumplir con las siguientes condiciones:
a. La función desconocida y sus derivadas son a lo sumo de primer grado, es decir, de potencia 1.
b. Los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas dependen solo de lavariable independiente.
En caso de que no se cumpla alguna de estas condiciones, se dice que la ecuación diferencial es no lineal. Por ejemplo:
y –2xy x 1, es lineal.
y –(y2 1)y x, es no lineal, ya que el coeficiente de y depende de y.
δ4yδx4 – cosxdydx y 0, es lineal.
δ3yδx3 xdydx – y2 0, no es lineal, ya que el término y, no es de primer grado.Variables separables: son ecuaciones de la forma:
dydx MxNy
Las cuales se pueden resolver así “separar las variables” esto significa que los términos relativos a la variable dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otra variable por lo tanto:
dyn(y) Mxdx
Por último, integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración.Ejemplo:

Ecuaciones diferenciales homogéneas:
Son ecuaciones en las que se puede hacer un cambio de variable reduciéndolas para que resulte una ecuación de variable separada. Son ecuaciones de la forma:
Mx,yδx Nx,yδy 0
Lo cual se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante “Algoritmo homogéneo”.
Aplicar el criterio de homogeneidad paraello basta con:
I. Denotar el coeficiente de δx con Mx,y y el coeficiente de δy con Nx,y.
II. Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes igualdades:
a) M(κx, κy) κnMx,y
b) N(κx, κy) κnNx,y
Para “a y b” los exponentes deben ser iguales y tanto Mx,y como Nx,y, no quedan afectados del factor k. Para luego hacer el siguiente cambio de variable:
y vx (I)
Derivar...