matematica

Ejercicio 2 - Práctico 2
Sea , : Mn × Mn → R dada por A, B = traz B T · A . Probemos que , es producto
interior.
, está bien definida.
Sean A = (aij )n×n y B = (bij )n×n dos elementos de Mn .Consideremos B T = bij

n×n

y B T · A = (cij )n×n donde

• bij = bji
n

• cij =

bik akj
k=1

Como aij ∈ R y bij ∈ R, sigue que cij ∈ R.
Por definición de , y traza de una matriz,obtenemos
A, B = traz B T · A = c11 + c12 + ... + cnn ∈ R
A, B = B, A , ∀A, B ∈ Mn .
Sean A = (aij )n×n y B = (bij )n×n dos elementos de Mn .
Consideremos AT = aij

n×n

, B T = bij

n×n

, B T ·A= (cij )n×n y AT ·B = (dij )n×n

donde
• aij = aji , bij = bji
n

• cij =

bik akj = bi1 a1j + ... + bin anj = b1i a1j + ... + bni anj
k=1
n

• dij =

aik bkj = ai1 b1j + ... + ain bnj= a1i b1j + ... + ani bnj
k=1

Luego, por la conmutatividad del producto de números reales, obtenemos para cada
i = 1, ..., n,
cii = b1i a1i + ... + bni ani = a1i b1i + ... + ani bni = diiEntonces, de acuerdo a la definición de , y traza de una matriz, resulta
A, B = traz B T · A = c11 + ... + cnn = d11 + ... + dnn = traz AT · B = B, A

1

A + B, C = A, C + B, C , ∀A, B, C ∈ Mn .
SeanA = (aij )n×n , B = (bij )n×n y C = (cij )n×n elementos de Mn .
Consideremos AT = aij

n×n

, B T = bij

n×n

, C T = cij

n×n

, A + B = (dij )n×n ,

C T · (A + B) = (eij )n×n , C T ·A = (fij )n×n y C T · B = (gij )n×n donde
(1) aij = aji , bij = bji , cij = cji
(2) dij = aij + bij
n

(3) eij =

cik dkj = ci1 d1j + ... + cin dnj = c1i (a1j + b1j ) + ... + cni (anj + bnj )k=1
n

(4) fij =

cik akj = ci1 aij + ... + cin anj = c1i a1j + ... + cni anj
k=1
n

(5) gij =

cik bkj = ci1 b1j + ... + cin bnj = c1i b1j + ... + cni bnj
k=1

Luego, para cada i = 1,..., n,
eii

= c1i (a1i + b1i ) + ... + cni (ani + bni )
=

[(3)]
[Prop. distributiva de ·

(c1i a1i + c1i b1i ) + ... + (cni ani + cni bni )

respecto de la suma en R]
=

(c1i a1i +...