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Raíz: Racionalización de fracciones con radicales
 
Tratándose de radicales, el proceso de racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción.
Dependiendo de las operaciones involucradas dentro de ese denominador pueden presentarse diversos casos:
a) caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, sin adiciones ni sustracciones.Ejemplo:
Racionalizar: 
Como regla general, amplificamos la fracción por el valor de este denominador, en este caso  , de la siguiente manera:

 
b) Caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, con adiciones o sustracciones.
Ejemplo: 
Racionalizar: 
Igual que en el caso anterior, amplificamos la fracción, ahora por , para formar en el denominador una suma por su diferencia (correspondeal conjugado, que es la misma expresión pero con signo contrario), con lo cual dejamos la expresión en:

 
c) Caso en que hay una raíz cúbica en el denominador, sin adiciones o sustracciones.
Ejemplo:
Racionalizar: 
En este caso amplificamos la fracción por , para dejar la expresión del siguiente modo:

 
Racionalizar fracciones con radicales en el denominador sirve, entre otrasaplicaciones, para ordenar de mayor a menor (para comparar) dichas fracciones.
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 15_2005

Ejemplo:
Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

De acuerdo a lo aprendido arriba, racionalizamos cada una de las fracciones:

Hecho esto, podemos ordenar de mayor a menor:


Racionalización
La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales deldenominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos:
1 Racionalización del tipo 
Se multiplica el numerador y el denominador por .

Ejemplos:
1 
2  
2 Racionalización del tipo 
Se multiplica numerador y denominador por .

Ejemplos:

3 Racionalización del tipo 
Y en general cuando el denominador sea un binomio con almenos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

Ejemplos:
1 

2 

3 

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.

Recuerda que se llama irracional al número que no puedeexpresarse con números enteros ni fraccionarios. Son números que su expresión decimal tiene infinitas cifras pero sin formar períodos.
Podemos decir que 0,5 es lo mismo que .
es lo mismo que 0,75.

Todos estos números son racionales, podemos escribirlos como enteros o fraccionarios.
Existen números que no podemos expresarlos de este modo, por ejemplo  a estos números los llamamos irracionalesporque si queremos escribir el valor de los mismos nunca podremos acabar de ir escribiendo decimales. No hay ningún número que multiplicado por sí mismo te dé 2, ni 3 ni 11, ni 13, …. La raíz cuadrada de estos números nunca acabarás de obtener.
Es conveniente que las fracciones cuyo denominador sea irracional lo convirtamos en racional. En otras palabras, al proceso de obtener fracciones que notengan raíces en el denominador llamamos racionalización de radicales de los denominadores:
Ejemplo: .El denominador es un número irracional, por mucho que intentes calcular su valor verás que nunca acabas de hacer operaciones.
Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador de una fracción por un mismo número, su valor sigue siendo el mismo.
Para hacer racional eldenominador lo más simple es que le multipliquemos por sí mismo: .
Pero para que no varíe el valor de la fracción hemos de multiplicarle también al numerador por .Podemos decir que: son iguales pero no tiene como denominador un número irracional.
 
10.76 Racionaliza:
 Respuesta: .
 
10.77 Racionaliza:
 Respuesta: .
Solución:

10.78  Racionaliza:
 Respuesta: .
Solución:
Las operaciones las...