matematica

ISFD- ALBINO SANCHÉZ BARROS-

ALGEBRA
III
Profesorado De Matemáticas

TERCER AÑO TURNO MAÑANA- TARDE

2014

AUTOR: BRISUELA LAURA

1. EL CUERPO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
EL NÚMERO COMPLEJO
ISOMORFISMO DE LOS COMPLEJOS REALES EN
LOS REALES.
FORMA BINOMICA DE UN COMPLE.
CONJUGACIÓN EN LOS COMPLEJOS.
MODULO DE UN COMPLEJO.
RAIZ CUADRADA EN COMPLEJOS.
FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA.OPERACIONES EN FORMA POLAR.
RADICACIÓN EN LOS COMPLEJOS.
FORMA EXPONENCIAL EN LOS COMPLEJOS.
LOGARITMACIÓN EN COMPLEJOS.
EXPONENCIAL COMPLEJA GENERAL.
RAICES PRIMITIVAS DE LA UNIDAD
PRÁCTICOS DE LA UNIDAD.

1

El Cuerpo de los Números Complejos
La ecuación
con coeficientes reales no tiene solución en R si el
discriminante
es negativo. Se hace necesaria la ampliación de R a unconjunto
en cual puedan resolverse situaciones del tipo anterior.
Relación de equivalencia en
En conjunto
mediante:

y números complejos

de todos los pares ordenados de

(

) (

)⇔

reales, definimos la relación ~

^

Esta relación es la identidad, y obviamente es de equivalencia; se traduce en el siguiente
enunciado. “dos pares ordenados de dos números reales son equivalentes siy solo si son
idénticos”
Cada clase de equivalencia es unitaria, y se la identifica con el par ordenado
correspondiente, es decir: ( ) (
)
Definición de número complejo:
Número complejo es todo par ordenado de

(

Es decir:
Notación:



(

)/

reales. El conjunto de

complejos es

^

)

Parte real de un numero complejo es su primera componente
Parte imaginaria susegunda componente

Conviene advertir que la parte real e imaginaria de un complejo son números reales.
Las notaciones son:

( )

^

( )

Introduciendo un sistema cartesiano, los números complejos se corresponde con los
puntos del plano. La abscisa de cada punto es la parte real, y la ordenada es la parte
imaginaria. Por otro lado, a cada complejo le está asociado un vector con el origenen el
origen del sistema, y cuyo extremo es el punto determinado por el par ordenado
correspondiente.

2

I
(

)

R

Los complejos de parte imaginaria nula, es decir, los pares ordenados del tipo (
), son
puntos del eje de abscisas. Los complejos de parte real nula caracterizan el eje de
ordenadas.



Un complejo es real si y solo si su parte imaginaria es cero.
Uncomplejo es imaginario si y solo si su parte real es cero.
Operaciones en C:
En
se definen la adición y la multiplicación mediante:
) ( ) (
1. (
)
(
)( ) (
2.
)

Estas leyes de Composición Interna en C verifican las siguientes propiedades:


(C,+) Grupo Abeliano. El complejo nulo está dado por el par (0,0) y el inverso
aditivo de todo complejo
(
) es
(
)



(C- {0}; ) GrupoAbeliano.

.

3

Propiedades de la Adición:
: Ley de cierre
La suma de dos números complejos es otro número complejo

: Ley Asociativa:
(

)

(

)

: Elemento Neutro:
Si existe elemento neutro, debe ser tal que, sumado a cualquier complejo (a,b) lo deje
invariable. Supongamos que (x,y)
es neutro.
Entonces: (
(

)
)

(
(

)

(

) por definición de neutro

) pordefinición de adición

Por definición de equivalencia, las componentes del primer par son respectivamente
iguales a las del segundo.
Igualamos y resolvemos las ecuaciones en R
(

} Ecuaciones en

)

(

)

En consecuencia, el neutro de la adición en C es (0,0)
Verifica que:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

: Inverso Aditivo:
En forma análoga a la propiedadanterior podes encontrar que el inverso aditivo de (a,b)
es (-a,-b)
Provisoriamente llama (x,y) al opuesto de (a,b)
Entonces debe cumplirse: (
(

)

(

)

(

4

(

)

)
}

Verifica que: (

)

)

(

)

(

(

)
)

(
(

)
)

(

)

: Conmutativa:

Las propiedades enunciadas confieren al conjunto de los Complejos en Estructura de
Grupo Conmutativo con...