Matematica

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Índice:
Introducción Funciones continuamente diferenciables a trozos. Transitos y Curvas Tipos de curvas y ejemplos Longitud de una curva. Curvas recti…cables. Longitud de un camino. Cambios de coordenadas. Primera forma cuadrática fundamental. Triedro intrínseco. Curvatura de Flexión en R2 . Curvatura de Flexión en R3 . Curvatura de Torsión en R3 Fórmulas de Frenet Integrales de línea.Integral de línea de un campo vectorial. Trabajo Independencia del camino. Campos conservativos. Índice de una curva con respecto a un punto.

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Introducción:
Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es una curva. Pero como casi siempre al igual que sucede con muchos otros conceptos matemáticos, tenemos que revisar esta idea intuitiva, para confrontarlo con el concepto matemático de curva.Antes de de…nir lo que entendemos por una curva en Rn conviene aclarar algunas ideas equivocadas sobre las mismas. En primer lugar una curva no es un conjunto de puntos en Rn ; así por ejemplo el conjunto (x; y) 2 R2 : x2 + y 2 = r2 todos sabemos que este conjunto es el lugar geométrico de todos los puntos cuyas distancia al origen es r o vulgarmente hablando una circunferencia de centro el origeny radio r: Pues este conjunto de puntos no es una curva, puede representar lo que se llama el recorrido o la imagen de una curva, pero matemáticamente no es lo que entendemos por una curva, es su…ciente con ver que hay muchas curvas que tiene esa misma imagen, por ejemplo la circunferencia se puede recorrer en sentido contrario a las agujas del reloj (positivo) o en sentido horario (negativo) ytendríamos dos curvas diferentes con la misma imagen o se puede dar una sola vuelta completa o dos, tres,..... vueltas entonces tendríamos otra vez curvas distintas, o podemos empezar a recorrer la curva en un sentido y en un punto determinado volver sobre nuestros pies cambiando de sentido y puedo cambiar de sentido todas las veces que quiera. Creo que es fácil ver que existe una in…nidad de curvasque tiene la misma imagen o que recorre el mismo conjunto de puntos. Resumiendo podemos decir que una curva no solo son importantes los puntos por los que pasa sino, en cierta medida, en qué orden y cuantas veces pasa por ellos. En segundo lugar una curva no es una función de un intervalo [a; b] en Rn ; digamos que una función de ese estilo es una representación o un representante de una curva,pero no es una curva en sí. Es análogo cuando decimos que 3 ; o (3; 5) es un representante de un número racional pero no es en sí 5 un número racional ya que sabemos que un número racional es una clase de equivalencia de pares ordenados. Por ejemplo la función ' : [0; 2 ] ! R2 : ' ( ) = (r cos ; rsen ) representa a una curva que recorre una circunferencia de radio r en sentido antihorario y unasola vez...Pero la función hp p i : 2 ; 4 ! R2 : ( ) = r cos t2 ; rsent2

3 representa la misma curva que la función anterior y sin embargo es una función distinta. Resumiendo no debemos, conceptualmente, confundir una curva, (una clase de equivalencia) con la parametrización que la representa. Conviene observar que a una curva no se le puede asociar nunca un vector velocidad, ya que éste valigado al representante de la curva, en cambio si se puede hablar de vector tangente, (unitario) a la curva, ya que como veremos posteriormente, éste es independiente del representante elegido.

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Funciones continuamente diferenciables en un compacto.
Empecemos extendiendo el concepto de función diferenciable y diferenciable con continuidad a intervalos compactos. Una función f : [a; b] ! Rndecimos que es diferenciable en el intervalo compacto [a; b] si y solo si es derivable en (a; b) y existe la derivada por la derecha de f en a y la derivada por la izquierda de f en b: Una función f : [a; b] ! Rn decimos que es continuamente diferenciable en el intervalo compacto [a; b] si y solo si es continua en [a; b] y 1.- f es de clase 1 en (a; b) es decir es derivable en todos los puntos...