Matematica

Gradientes y derivadas direccionales
Alexander Holguín Villa
Departamento de Matemáticas, FCEN
Universidad de Antioquia, Medellín-Colombia
e-mail: ahvi03@matematicas.udea.edu.co
alexholguinvilla@gmail.com

Abstract
En la sección 2:1 estudiamos las grá…cas de funciones con valores reales. Ahora retomaremos este estudio usando los métodos del
cálculo. Especí…camente, los gradientes seusarán para obtener una
fórmula para el plano tangente a una super…cie de nivel.
Keywords: Gradiente, derivadas direccionales, plano tangente..

1

Gradientes y derivadas direccionales

De…nición 1.1 Si f : U
R3 ! R es diferenciable, el gradiente de f
en (x; y; z ) es el vector en el espacio dado por rf = @ f ; @f ; @f . Este
@x
@y
@z
vector también se denota por rf (x; y; z ). Así, rf essimplemente la matriz
derivada Df , dispuesta como vector.
!

!

Sea f : U
R3 ! R a valores reales v ; x 2 R3 y consideremos la
!
!
función dada por t 7! f x + t v . Note que el conjunto de puntos de la
!

!

!

!

forma x + t v , t 2 R es la recta L que pasa por x y es paralela al vector v ,

1

!

!

!

!

dada por l (t) = x + t v . Además t 7! f x + t v

= fjL :

!

¿Con qué rapidez cambian los valores de f a lo largo de L en el punto x ?
Dado que la razón de cambio de una función está dada por una derivada,
la respuesta será: es el valor de la derivada de esta función de t en t = 0
!
!
!
!
(t = 0 ! x + t v = x ). Esto debería ser la derivada de f en x en la dirección
!
de v .
n!o
!
De…nición 1.2 f : U Rn ! Rm . Dado u 2 Rn j O , sede…ne
!

!!

f 0 a ; u = lim

!

f a + tu

!

fa

t

t!0

siempre que este último límite exista. Nótese que este límite depende de
!
!
!
ambos a y u , por lo que es denominado la derivada de f en a en la dirección
!
de u , (En cálculo se requiere que este último vector sea unitario, pero tal
condición no es necesaria).
!!

Ejemplo 1.3 f : R2 ! R dada por f (x; y ) = xy .Determinar f 0 a ; u ,
!

!

con a = (a1 ; a2 ) y u (0; 1).
2

f ((a1 ; a2 ) + t (0; 1)) f ((a1 ; a2 ))
t!0
t
a1 (a2 + t) a1 a2
= lim
= a2
t!0
t

!!

f0 a; u

= lim

!!

f0 a; u

R3 ! R diferenciable, entonces todas las derivadas

Teorema 1.4 Si f : U

!

!

direccionales (en dirección de u 6= O) existen y además
!!

!

!

f 0 a ; u = rf a
!!Observación 1.5 Como f 0 x ; u
tario y

=

!

=

^

u

!

rf x

!

rf x ; u , por tanto:

Se tendrá un máximo si

!

= 0 rad y, en este caso rf x

dirección y sentido. Ahora se tiene un mínimo si
^

^

cos ( ), para u = u uni-

=

^

y u tienen igual
!

rad, luego rf x

y u tienen sentido contrario. Adicionalmente para una partícula que se desplaza sobre lasuper…cie que de…ne f , ésta lo hará a nivel constante, es decir
!
!
!
!
z = k , si rf x u = 0, es decir rf a ? u ; así:
!

!

!

Teorema 1.6 Supongamos que rf x 6= O. Entonces rf x
la dirección a lo largo de la cual f crece más rápido.

apunta en

Ejemplo 1.7 (Dirección de máximo crecimiento)
Si la temperatura en cada punto (x; y; z ) viene dada por
T (x; y; z ) = 85 + (1

2
2
z=100) e (x +y )

hallar en P0 (2; 0; 99) la dirección en que la temperatura crece más rápido.
2
2
rT (x; y; z ) = e (x +y ) ( 2x (1 z =100) ;
2y (1 z =100) ; ( 1=100)),
así:
1
14
e ; 0;
e4
rT (2; 0; 99) =
25
100

3

Para hallar un vector unitario paralelo al anterior multiplicamos la anterior
expresiónpor 100e4 , por tanto:
1
^
1) ! u = p ( 4; 0;
17

!

u = ( 4; 0;

1)que es la dirección en la que T crece más rápido.
!^

^

Ejemplo 1.8 Calcular f 0 x; u en P0 (0; 1) para el cual u es unitario en la
!

!^

dirección de P0 Q, Q (3; 5). Además determinar en P0 , para el cual f 0 x; u
!
1
^
es máxima, si f (x; y ) = ex tan 1 (y ). P Q = (3; 4) ! u = (3; 4). Además
5
ex
x
1
fx = e tan (y ), fy =
, luego
1 + y2
^

f 0 (0; 1) ; u

^...