Matematica

Programaci´n: Construcci´n del polinomio interpolante o o con la f´rmula de Newton o
Objetivos. Programar la f´rmula de Newton para calcular el polinomio interpolante. o Requisitos. C´lculo de los valores del polinomio en una lista de puntos, multiplicaci´n de un a o polinomio por un binonio. Funciones que trabajan con polinomios. Suponemos que los polinomios se guardan como listas decoeficientes. Vamos a usar algunas funciones de las tareas anteriores: PolValues de dos argumentos fcoefs, points calcula los valores del polinomio con coeficientes fcoefs en los puntos de la lista points; MulPolBinom de dos argumentos fcoefs, a calcula los coeficientes del producto del polinomio con coeficientes fcoefs por el binomio (x + a). Atenci´n: aqu´ el binomio (x + a) o ı est´ dado no por la lista de suscoeficientes, sino por un n´mero a. a u

C´lculo de la tabla de las diferencias divididas a
1. Definici´n de las diferencias divididas. o [yi+1 , . . . , yj−1 , yj ] − [yi , yi+1 , . . . , yj−1 ] . [yi , yi+1 , . . . , yj−1 , yj ] := xj − xi 2. Idea recomendada: guardar las diferencias divididas en un arreglo unidimensional borrando los valores que ya no se necesitan. Dados los puntos x1 , . . ., xn y los valores y1 , . . . , yn tenemos que calcular sus diferencias divididas. Vamos a guardarlas en un arreglo dd de longitud n, como se muestra en el siguiente esquema para n = 4. Est´n escritos con color a gris los contenidos que ya no se cambian, sino se heredan de los pasos anteriores. contenido contenido contenido contenido de de de de dd[1] : dd[2] : dd[3] : dd[4] : Paso 0 [y1 ] [y2 ][y3 ] [y4 ] Paso 1 Paso 2 Paso 3 [y1 ] [y1 ] [y1 ] [y1 , y2 ] [y1 , y2 ] [y1 , y2 ] [y2 , y3 ] [y1 , y2 , y3 ] [y1 , y2 , y3 ] [y3 , y4 ] [y2 , y3 , y4 ] [y1 , y2 , y3 , y4 ]

En el p-´simo paso se calculan las diferencias divididas del p-´simo orden. En casa paso (es e e decir, en cada columna) tenemos que empezar desde las ultimas entradas. Por ejemplo, ser´ ´ ıa un error si en el Paso 1empezaramos con dd[2] := dd[2] − dd[1] x[2] − x[1]

porque de esta manera perdir´ ıamos el valor anterior dd[2] = [y2 ] el cual todav´ necesitamos ıa para calcular [y2 , y3 ]. p´gina 1 de 4 a

3. Tabla de las diferencias divididas, seguimiento por pasos, n = 4. Paso p = 0. dd := una copia del arreglo y[1], y[2], y[3], y[4]. Paso p = 1. dd[4] := (dd[4] − dd[3]) / (x[4] − x[3]) dd[3] := (dd[3] −dd[2]) / (x[3] − x[2]) dd[ ] := (dd[ ] − dd[ ]) / (x[ ] − x[ ]) Paso p = 2. dd[ ] := (dd[ ] − dd[ ]) / (x[ ] − x[ ]) dd[3] := (dd[3] − dd[2]) / (x[3] − x[1]) Paso p = 3. dd[ ] := (dd[ ] − dd[ ]) / (x[ ] − x[ ]) 4. Tabla de las diferencias divididas, estructura de los ciclos, n = 4. dd := una copia del arreglo y1 , y2 , y3 , y4 . Paso p = 1. Para j := , dd[j] := Paso p = 2. Para j := , : dd[j] := Pasop = 3. Para j := : dd[j] := Regresar dd. ; ; , : ;

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5. Tabla de las diferencias divididas (2 %). Escriba una funci´n DivDifTable de dos o argumentos points y values que para los puntos points = (x1 , . . . , xn ) y los valores correspondientes values = (y1 , . . . , yn ) regrese la lista de las siguientes diferencias divididas: [y1 ], [y1 , y2 ], [y1 , y2 , y3 ], ..., [y1 ,y2 , y3 , . . . , yn ].

Entrada: points, values. n := longitud de la lista points; dd := copia de la lista values; Para p := ???, ..., ???: Para j := ???, ..., ???: dd[j] := (dd[???] - dd[???]) / (points[???] - points[???]); Regresar dd. 6. Prueba. Aplique la funci´n DivDifTable a los puntos 2, 3, −1, 5 y los valores 3, 11, −9, 69. o La respuesta correcta es la lista 3, 8, 1, 1.

Construcci´ndel polinomio interpolante con la f´rmula de Newton o o
F´rmula de Newton para el polinomio interpolante. o Para los puntos x1 , . . . , xn y los valores y1 , . . . , yn , el polinomio interpolante se puede construir mediante la siguiente f´rmula: o
n k−1

P(x) =
k=1

[y1 , . . . , yk ]
j=1

(x − xj ).

Representaci´n eficiente de la f´rmula de Newton para n = 4. o o P(x) = [y1 ,...