Matematica

PRÁCTICAS MATEMÁTICAS I

CURSO 2012-2013

TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES TEMA 2. APROXIMACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS TEMA 3. AMPLIACIÓN DE CÁLCULO MULTIVARIANTE TEMA 4. CÁLCULO INTEGRAL TEMA 5. AMPLIACIÓN DE CÁLCULO INTEGRAL

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TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Halle el dominio natural de de…nición de las siguientes funciones: a) Lafunción de producción f (x1 ; x2 ) = 3(x1 + x2 )1=2 donde x1 y x2 son las cantidades empleadas de ciertos inputs. b) La función de producción f (K; L) = L + ln K donde K es el capital y L es el trabajo. 2 c) La función de demanda x = f (p; m) = m2p 4 donde m es la renta y p es el precio de dicho bien. 2. En el grá…co que aparece debajo aparece la intersección, con el primer cuadrante, de 6 curvasde nivel. Tres de ellas corresponden a la función f (x; y) = 2x + y y las otras tres a g(x; y) = 2x3 + y 3 : Indique cuáles corresponden a f y cuáles a g y el valor de la correspondiente función en cada una de esas 6 curvas de nivel.

3. Los siguientes cuatro grá…cos son las curvas de nivel de cuatro de las ocho funciones que aparecen a la derecha. Dí a cuál corresponde cada uno de ellosindicando con ‡ echas hacia dónde crece la función.

4. Los siguientes grá…cos corresponden a las curvas de nivel de dos de las cuatro funciones que aparecen a continuación. Dí a cuál corresponde cada una e indica con una ‡ echa hacia dónde crece la función. f1 (x; y) = 4x2 (y 2)2 f3 (x; y) = x + y 2 f2 (x; y) = 4x2 (y 2)2 f4 (x; y) = ln(x + 2y)

5. Represente grá…camente 3 curvas de nivel de cadauna de las siguientes funciones. (i) f (x; y) = 3x + ln(y + 1); (ii) f (x; y) = x4 y; p (iii) f (x; y) = (x + 1) + y 2 ; 2; y x 1g
2

(iv) f (x; y) =

6. Dibuje el recinto S = f(x; y) 2 R2 : y

x + 1; x + y

p

2x + y:

7. Cuando se producen x e y unidades de los bienes X e Y se incurre en unos costes dados por la función C(x; y) = x + 2y 2 : Los bienes X e Y se venden, respectivamente,a precios px = 1 y py = 2 por unidad. a) Encuentre y represente grá…camente la curva de isocoste que contiene al punto (6; 1) : b) Encuentre otro par de cantidades (x; y) que esté en la misma curva de isocoste que (6; 1) c) Encuentre y represente grá…camente el conjunto de combinaciones de productos (x; y) que permitan ingresar al menos 8 unidades monetarias con coste menor o igual que 8 d)Encuentre y represente grá…camente el conjunto de combinaciones de productos (x; y) que permitan ingresar al menos 8 unidades monetarias sin pérdidas. 8. El nivel de bienestar de un consumidor que consume x unidades del bien X e y unidades del bien Y viene dado por la función (función de utilidad) U (x; y) = x1=2 y 1=4 Suponga que el consumidor dispone de una renta de M = 24 unidades y los precios delos bienes X e Y son respectivamente p1 = 2 y p2 = 4: Represente grá…camente los siguientes conjuntos: a) El conjunto de cestas (x; y) accesibles para el consumidor. b) El conjunto de cestas preferidas o indiferentes a la cesta (1; 1) : c) El conjunto de cestas accesibles y preferidas o indiferentes a la cesta (1; 1) : d) ¿Es la cesta (9; 1) una cesta accesible que maximiza la utilidad delconsumidor? NOTA: Una cesta (x1 ; y1 ) es preferida a la cesta (x2 ; y2 ) si y solo si U (x1 ; y1 ) > U (x2 ; y2 ): Son indiferentes si y solo si U (x1 ; y1 ) = U (x2 ; y2 ): 9. Considere un individuo que dispone de 80 euros que puede gastar en los bienes X y Y: Represente grá…camente el conjunto de cestas (x; y) que podría comprar el individuo en los siguientes casos. a) Los precios de X e Y son px = 8 ypy = 4: b) Los precios de X e Y son px = 8 y py = 4 pero, si comprase más de 4 unidades de bien X; todas las unidades compradas de bien X por encima de 4 tendrían un descuento del 50%. c) Los precios de X e Y son px = 8 y py = 4 pero, si comprase más de 4 unidades de bien X; todas las unidades compradas de bien X tienen un descuento del 50%. d) Si compra en el lugar A los precios son px = 8 y...