Matematica

Continuidad de una función
en un intervalo abierto: (a,b)
Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]
Un valor c,pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuasen sus respectivos dominios de definición.
La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.

El Teorema de Weierstrass es un teorema de análisis real que establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado (de números reales) alcanza sus valores máximo y mínimo en puntos del intervalo. También se puede enunciar entérminos de conjuntos compactos. El teorema establece que una función continua transforma intervalos compactos en intervalos compactos, entendiéndose por intervalo compacto aquel que es cerrado (sus puntos frontera le pertenecen) y acotado.

Enunciado
Si una función f es continua en un intervalo compacto (cerrado y acotado) entonces hay al menos dos puntos x1,x2 pertenecientes a [a,b] donde falcanza valores extremos absolutos, es decir , para cualquier
Demostración
Como está acotada al ser [a,b] un compacto y f una función continua aplicada sobre un compacto, podemos asegurar que existe un supremo finito llamado M. Es necesario encontrar un punto d en [a,b] que satisfaga M = f(d). Digamos que n es un número natural. Cómo M es supremo, M – 1/n no lo es para f. Entonces, existe un puntodn en [a,b] tal que M – 1/n < f(dn). Esto genera una sucesión {dn} según vamos dando valores naturales a n. Cómo M es supremo por f, tenemos que M – 1/n < f(dn) ≤ M para todo n natural. Entonces, si hacemos tender n hacia infinito por el criterio de compresión tenemos que {f(dn)} converge a M.
Tenemos una sucesión que converge al supremo del conjunto, ahora hay que ver que precisamente elpunto dónde se asume el supremo es el punto d, incluido en el conjunto, y por lo tanto Este supremo es un máximo. El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos dice que existe una subsucesión {}, que converge a un punto d y, dado que [a,b] es cerrado, d está en [a,b]. Cómo f es continua en el conjunto (incluyendo el punto d), la sucesión {f()} converge a f(d). Pero {f(dnk)} es una subsucesión de {f(dn)}que converge a M, entonces M = f(d), ya que si una sucesión es convergente a un punto cualquier sucesión parcial converge al mismo punto. Por lo tanto, f asume el supremo M en el punto d, y como d es del conjunto es el máximo. La demostración para ver que el ínfimo del conjunto [a,b] por f se asume dentro del conjunto y por lo tanto es mínimo es análoga a ésta.

Teorema de Bolzano
Es frecuente(en algunos cursos de cálculo) demostrar independientemente el Teorema de Bolzano, y después servirse de él para enunciar el TVI como un corolario. Enunciado:
Sea f una función real continua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c) = 0. |
El teorema como tal no especifica el número de puntos,solo afirma que como mínimo existe uno.
Si f(a) y f(b) no son del mismo signo, existe al menos un real c comprendido entre a y b tal que f(c) = 0 (pues 0 está comprendido entre f(a) y f(b)).
Demostración con la topología
Es posible demostrar la propiedad en algunas líneas solamente, evocando nociones de la topología matemática. Tras esta aparente simplicidad se encuentran resultados que hay que...