Matematica
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Publicado: 2 de marzo de 2013
Matemática de Segundo año del Ciclo Diversificado. Capítulo 5: Estudiar las Determinantes
1. Determinantes A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).
|A| =
2. Cálculo determinante de orden 3 Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:
= a11 a22 a33 + a12 a23a 31 + a13 a21 a32 -a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.
= 3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 = = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = = 44 + 4 + 15 = 63
3. Hallar determinante de una matriz de cualquier orden Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote,que valdrá 1 ó -1. Seguiremos los siguientes pasos:
1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).
2. En caso negativo: 1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremospara que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).
2. Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varíe. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.
3. Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos loselementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.
4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.
= 2(-58)
4. Regla de Cramer Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes: 1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es:que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones. 2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: a) irsustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes; b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita; c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas. Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:
El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:
Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:
5) Método de Gauss o de triangulación para calcular determinantes Se conoce cómo métodode Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes. Para conseguirtriangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones: Permutar 2 filas o 2 columnas. Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo. Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo. Ejemplo:
6) Propiedades de los Determinantes 1.|At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.
2. |A|=0
Si:...
1. Determinantes A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).
|A| =
2. Cálculo determinante de orden 3 Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:
= a11 a22 a33 + a12 a23a 31 + a13 a21 a32 -a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.
= 3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 = = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = = 44 + 4 + 15 = 63
3. Hallar determinante de una matriz de cualquier orden Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote,que valdrá 1 ó -1. Seguiremos los siguientes pasos:
1. Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).
2. En caso negativo: 1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremospara que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).
2. Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varíe. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.
3. Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos loselementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.
4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.
= 2(-58)
4. Regla de Cramer Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes: 1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es:que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones. 2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: a) irsustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes; b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita; c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas. Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:
El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:
Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:
5) Método de Gauss o de triangulación para calcular determinantes Se conoce cómo métodode Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando las propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes. Para conseguirtriangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones: Permutar 2 filas o 2 columnas. Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo. Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo. Ejemplo:
6) Propiedades de los Determinantes 1.|At|= |A| El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.
2. |A|=0
Si:...
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