Matematica

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Cálculo lógico
Artículo principal: Cálculo lógico.
El cálculo lógico es un sistema de reglas de inferencia o deducir un enunciado a partir de otro u otros. El cálculo lógico requiere un conjunto consistente de axiomas y unas reglas de inferencia y su propósito es poder deducir algorítmicamente proposiciones lógicas verdaderas a partir deaxiomas válidos. La inferencia es una operación lógica que consiste en obtener una proposición lógica comoconclusión a partir de otro(s) (premisas) mediante la aplicación de reglas de inferencia.15
Informalmente interpretamos que que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces,necesariamente, "T" tiene valor de verdad V. Sin embargo, en el enfoquemoderno del cálculo lógico no es necesario acudir al concepto de verdad, para construir el cálculo lógico.
Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, según las leyes de la lógica natural.16
La lógica, como ciencia formal, seocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusión es necesariamente verdadera.
Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a losenunciados que forman un argumento mediante la simbolización adecuada de fórmulas o expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo. En ese contexto, las reglas de formación de fórmulas definen una sintaxis de un lenguaje formal de símbolos no interpretados, es decir, sin significado alguno, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre lossímbolos para la construcción de fórmulas bien formadas (fbf), así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías. Un lenguaje formal que sierva de base para el cálculo lógico está formado por varias clases deentidades:
1. Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.
2. Un conjunto de reglas de formación de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresiónpertenece al sistema y cuándo no.
3. Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.
Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistemaformal axiomático. Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:
1. Es consistente: No es posible que dada una expresión bien formada del sistema, , y su negación, , sean ambasteoremas del sistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema.
2. Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistemapodemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.
3. Completo: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la demostración matemática o prueba de que es un teorema del sistema.
La misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto "no es posible"...