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Ing. Mecánica

Sistema de Coordenadas Polares


En matemáticas, el sistema de coordenadas polares es una de dos dimensiones del sistema de coordenadas en el que cada punto en un plano está determinado por una distancia de un punto fijo y un ángulo de una dirección fija.
El punto fijo (similar a la del origen de un sistema cartesiano) se llama el polo, y losrayos del polo con la dirección fija es el eje polar. La distancia desde el polo se llama la coordenada radial o radio, y el ángulo es la coordenada angular, ángulo polar, o acimut.


Conversión de Coordenadas

La conversión de coordenadas es una operación con coordenadas donde se cambia de TIPO de coordenadas, manteniendo el mismo sistema de referencia. Es el caso, de la conversión decoordenadas elipsoidales a cartesianas o viceversa.



Si se tiene un punto definido según sus coordenadas cartesianas (X, Y, Z) y se quieren obtener sus coordenadas elipsoidales (φ, λ, h), se debe obtener una función del tipo

(φ, λ, h) = f (X, Y, Z)

O sea, obtener la coordenada φ como función de (X, Y, Z), la coordenada λ como función de (X, Y, Z) y la coordenada h como función de (X, Y, Z).Lo mismo si se tiene un punto definido según sus coordenadas elipsoidales y se quiere obtener sus coordenadas cartesianas, entonces, se debe obtener una función del tipo

(X, Y, Z) = f (φ, λ, h)

O sea, obtener la coordenada X como función de (φ, λ, h), la coordenada Y como función de (φ, λ, h) y la coordenada Z como función de (φ, λ, h).
Para esto, se puede encontrar estas relacionesutilizando la figura 1 y la elipse del meridiano en la figura 2:







Si se define a N como el radio de curvatura de la sección normal del vertical primario (siendo el vertical primario un plano que contiene a la normal del lugar y es perpendicular al meridiano), según la siguiente fórmula:


Donde,
a es el semieje mayor del elipsoide
e es la excentricidad
φ es la latitudgeodésica

Utilizando ambas figuras, se puede observar que,

Donde, de la figura 2, se puede observar que,




Se puede definir,



Uniendo las ecuaciones anteriores se obtiene,
Quedando así definidas las coordenadas cartesianas en función de las coordenadas elipsoidales.


Para el caso inverso, de elipsoidales a cartesianas, se puede ver que:

*el cálculo de λ es directo


*La determinación de φ requiere un proceso iterativo:
De la figura 2,


Donde,

Y OE se determina de la siguiente manera:


Entonces



Y como, z’ = Z, se obtiene así,


Se puede observar que, la determinación de φ depende del mismo φ, por lo que será necesario un algoritmo de resolución numérica, que se realiza a través de unproceso iterativo. El proceso iterativo implica determinar un valor inicial para φ y así calcular un valor para N. Con estos valores, se calcula un nuevo valor para φ, y así calcular un nuevo valor para N, volviendo a calcular un nuevo valor para φ. El proceso iterativo culmina cuando el nuevo valor de φ es muy parecido al valor anterior calculado.

A modo esquemático, se tiene



*por último,la determinación de h, se realiza una vez obtenida φ, mediante la expresión,

Que se obtiene observando ambas figuras.

A modo de resumen,






Criterios de simetría en las coordenadas polares

SIMETRIA CON RESPECTO AL EJE POLAR:
Criterio I : una gráfica  es simétrica con respecto al eje polar si 
En palabras si al cambiar  por - se obtiene el mismo, la gráfica será simétrica aleje polar
Si el punto ( está en la gráfica el punto  también lo está.
cos( pero si  como  el criterio allí no se cumple.
Note que con este criterio todas las gráficas que involucren cos son simétricas con el eje polar y que esto permite hacer tablas con menos datos.
SIMETRÍA CON EL EJE ( O CON EL EJE  ):
Criterio I : Una gráfica  es simétrica con respecto al eje  si 
En palabras si al...