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Matemática II - Curso on line 2013.
Unidad 1 – Geometría - Resuelto
1) a) Si un recta “r” contiene a los puntos A = (3 ; 3 ; 0 ) y B = (5 ; 4 ;1) y otra recta "s" con→
(
(
(
tiene al punto P0 = (2 ; 5 ;1) y su vector dirección es v = i + 3 j + 2k . ¿Es posible afir-

mar que dichas rectas se intersecan en un punto? En caso afirmativo. ¿Cuáles son
las coordenadas del mismo?
Resolución dea): En el recta "r" conocemos dos puntos y con ellos podemos lograr
su vector director:
AB = B − A = (5 ; 4 ;1) − (3 ; 3 ; 0 ) = (2 ;1;1)

Luego, la recta "r" resulta, conociendo un punto y su vector director:
r:

(x ; y ; z ) = 1;2;4) + t . 12;3
(43 3 (2;1 1)
3 0
punto de
paso

vector
director

Nota: Podría haberse tomado como punto de paso, en vez de "A" al "B" o como vectordirector al " BA " y la expresión sería equivalente.

En forma análoga procedemos para la recta "s"
(
(
(
v = i + 3 j + 2k = (1; 3 ; 2) ⇒

→

s : (x ; y ; z ) = (2 ; 5 ;1) + k . (1; 3 ; 2)
12 3
4 4
12 3
4 4
punto de
paso

vector
director

Para hallar, si existe, el punto de intersección debemos expresar ambas rectas en
forma paramétrica y luego igualar dos de las tresecuaciones:

r:

 x = 3 + 2t

y = 3 + t
z = t


(1)
( 2)
(3)

s:

x = 2 + k

y = 5 + 3k
 z = 1 + 2k


(1
´)
(2´)
(3´)

De igualar (1) con (1´) y (2) con (2´), elegidas arbitrariamente, tenemos un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas. De allí surgirán los valores de parámetros que
igualan esas variables:

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Resolución

3 + 2t = 2 + k ⇒ 2t = k − 1 ⇒


 3 + t = 5 + 3k ⇒ t = 3k + 2


1
1
t = 2k − 2

⇒

1
k
2

1
− 2 = 3k + 2

⇒

5
k
2

= − 5 ⇒ k = −1
2

Entonces, si:
k = −1 ⇒

t = −1

Estos valores de parámetros igualan a las incógnitas "x" e "y". Para que las rectas se
intersequen deben tener, en un punto, las mismas coordenadas. Volviendo a lasecuaciones y reemplazando por los valores de "t" y "k" obtenidos, resulta:

r:

 x = 3 + 2t = 1

y = 3 + t = 2
 z = −1


s:

x = 2 + k = 1

y = 5 + 3k = 2
 z = 1 + 2k = −1


Al lograr la misma respuesta en la dos rectas, podemos concluir que:

r ∩ s = {(1; 2 ; − 1)}

b) Si el plano “ α ”, que contiene al punto Q = (2 ; − 1; 0 ) , es perpendicular a la recta "r".
¿Cuál essu ecuación cartesiana?
Resolución de b):
Figura de análisis

→

u = (a ; b ; c ) = (2 ; 1 ; 1)

α :ax +by +cz + d = 0
•P

0

• Q = (− 2 ;1; 0 )

r

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Resolución

Un plano, para lograr su ecuación, es preciso conocer un punto y su vector normal.
El punto es parte de los datos y el vector normal podemos usar el dela recta porque
el enunciado nos indica que la recta "r" es perpendicular a " α "
De esta manera el plano resulta:
α :ax +by +cz + d = 0

⇒

2x + y + z + d = 0

Como éste plano contiene al punto Q = (2 ; − 1; 0 ) , sus coordenadas deben verificar
la ecuación. Ello nos permitirá calcular el valor de "d":
2x + y + z + d = 0

⇒

2.2 + ( −1) + 0 + d = 0

⇒

d = −3

Luego el plano "α " resulta ser:
α : 2x + y + z − 3 = 0

c) ¿En qué punto la recta “r” interseca a “ α ”.
Resolución de c): En la gráfica anterior, podemos observar que el punto de intersección es el que llamamos P . Es evidente que el mismo va a surgir de reemplazar la
0
ecuación de la recta "r" en la del plano “ α ”.
De la ecuación de "r" tenemos que:

r:

 x = 3 + 2t

y = 3 + t
z = t


⇒α : 2x + y + z − 3 = 0

⇒

2.(3 + 2t ) + (3 + t ) + ( t ) − 3 = 0

Operando tenemos que:

6t + 6 = 0

⇒

t = −1 ⇒

 x = 3 + 2t = 1

y = 3 + t = 2
 z = −1


Entonces: r ∩ α = {(1; 2 ; − 1)}

Nota: En éste caso, la intersección entre las rectas y entre el plano y la recta resultó
ser el mismo punto, pero ello podría haber dado un resultado diferente.

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