Matematicas 3, unidad 3

OBJETIVO:
* Funciones vectoriales que son de variable real definida los conceptos de derivación e integración para funciones vectoriales de variable real y los aplicara a problemas reales.



1.- Sea R (t)= (t+2)i+(2t2-3)j+t3k Para t en R
a) Calcular r en 1 r (1) y r (2) y trazar sus vectores de posición
b) ¿Para qué valores d (t) el vector de posición de r (t) está en uno de losplanos cartesianos?
r (1) =(1+2)i+(2(1)2-3)j+(1)3k
=3i-j+k
r (2) =(2+2)i+(2(2 )2-3)j+(2)3k
=4i+5j+8k

2.- Sea r (t)= (In t) i+e-3tj+t2k
a) Encontrar el dominio de r y determinar los números donde r es continua
b) Encontrar r` (t) y r” (t)
D
x=In t t >0
y=e-3t t en ℝ DOMINIO: t>0
z=t2 t en ℝ

r`(t)=1ti+e-3t-3j+2tk
=1ti-3e-3tj+2tk
=-1t2i+9e-3tj+2tk
3.-Sea r(t)=t-1i+2-t j
Encuentre el dominio de r y determina los números en los que r es continua. Determine r` (t) y r” (t)
D
X=t-1 t=>1 DOMINIO: 1,2
Y=2-t (-∞.2 o t<2

r`(t)=dt-12t-1+d2-t22-t =12t-1i-122-t jr”(t)=ddx12t-1-12-ddx122-t-12
=12-12t-1-32-12-122-t-32
=14t-13-142-t3
4.- Sea r (t)= 2ti+4-t2
Calcular: r`(t) y trazar la curva C determinada por r(t). Ilustrar geométricamente r(1) y r(2)
r`(t)= 2i-2tj
T | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
X | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
y | 0 | -3 | 4 | 3 | 0 |

r (1)=2(1)i+(4-12j=2i+3j
r` (1)=2i-2(1)j=2i-2j

5.-El vector de posición de una partícula que se mueve en unplano coordenado es
r (t)=(t2+t)i+t3; para 0≤t≤2
a) calcular la velocidad y la aceleración de dicha partícula al tiempo t
b) Trazar la trayectoria C de la partícula y representar geométricamente r` (1) y r” (1)
V (t)= r` (t)= (2t+1) i+3t2j
A (t)=r” (t)=2i+6tj
T | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
X | 0 | 0.75 | 2 | 3.75 | 6 |
Y | 0 | 0.125 | 1 | 3.375 | 8 |

V (1)=(2(1)+1)i+3(1)2j =3i+3j
A(1)=2i+6(1)j =2i+6j

6.- El vector de posición de una partícula es r(t)=2ti+3t2j+t3k para 0≤t≤2de la partícula al tiempo
a) Encontrar la velocidad y la aceleración de la partícula al tiempo t
b) Trazar la trayectoria e ilustrar geométricamente la velocidad en 1 y aceleración en 1
v(t)=r`(t)=(2i+6tj+3t2k)
a(t)=r”(t)=(6j+6tk)
T | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
X | 0 | 1 | 2| 3 | 4 |
Y | 0 | 0.75 | 3 | 6.75 | 12 |
z | 0 | 0.125 | 1 | 3.375 | 8 |

V(1)=2i+6(1)j+3(1)2k =2i+6j+3t
A(1)=6j+6(1)k =6j+6k

7.-Sea C la curva plana determinada por r(t)=t2i+tj
a) Encontrar los vectores unitarios tangente y normal T(t) y N (t)
b) Trazar C, T(1) y N(1)
r`(t)=2ti+j
r`(t)=(2t)2+(1)2
=4t2+1
T(t)=14t2+1(2ti+j)
=2t4t2+1i+14t2+1jddt2t4t2+1=4t2+1ddx2t-2tddx4t2+14t2+12

=24t2+1-(2t)ddx(4t2+1)24t2+14t2+1
=24t2+1-(2t)(4t)4t2+14t2+1
=24t2+11-8t24t2+14t2+1
=24t2+1 4t2+1-8t2(1)4t2+14t2+1
=2(4t2+1)-8t24t2+14t2+1
=8t2+2-8t24t2+14t2+1
=24t2+14t2+11=24t2+1 (4t2+1)=2(4t2+1)32
ddt14t2+1=ddt(4t2+1)-12=-12(4t2+1)-12-1ddt(4t2+1)
=-124t2+1-328t=-4t(4t2+1)-32
=-4t(4t2+1)32

T` (t) =2(4t2+1)32i-4t(4t2+1)32j

T`(t)=2(4t2+1)322+-4t(4t2+1)322
=4(4t2+1)3+16t2(4t2+1)3=4+16t2(4t2+1)3=4(1+4t2)(4t2+1)3=4(1+4t2)(4t2+1)3
=4(4t2+1)2=4(4t2+1)2=24t2+1
Nt=124t2+12(4t2+1)32i-4t(4t2+1)32j
=2(4t2+1)322(4t2+1)i-4t(4t2+1)322(4t2+1)j
=2(4t2+1)2(4t2+1)32i-4t(4t2+1)2(4t2+1)32j
=12(4t2+1)12i-22(4t2+1)12j
r (t)=t2i+tj
T | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
X | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |y | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |

Tt=2t4t2+1i+14t2+1j
Nt=14t2+1i+2t4t2+1j
T (1)=24t2+1i+2t4t2+1j
T (t)=25i+15j
N (t)= 15i-25j

8.-Determine los vectores unitarios tangentes y normal T(t) N(t), a la curva C determinada por r(t). Trace la grafica C y represente geométricamente los correspondientes al vector T (t) y N (t) correspondientes al vector al valor dado de t
r(t)=-t2i+2tj...