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4. Espacios vectoriales

4.1 definición de espacio vectorial y propiedades.

Un xqespacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamarávectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.

Propiedades

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4.2 definición de subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.
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_______________________Condición de existencia de un campo vectorial

El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas , es decir, den como resultados elementos que también pertenezcan a S. Estas antes mencionadas se dan como la suma y la multiplicación para los vectores.
Para ello se definen 4 axiomas quegarantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial se define S como espacio vectorial si y solo si:

1. S no es un conjunto vacío
2. S es igual o incluido en V
3. La suma es la ley de composición interna
4. El producto es la ley de composición externa

Si estas condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio vectorial.
Propiedades desubespacio vectorial
Para mostrar que un conjunto de objetos es un espacio vectorial, hemos de ver que se cumplen las diez propiedades del espacio vectorial. Este proceso se puede hacer m ́as corto si el conjunto de objetos es un subconjunto de un espacio vectorial conocido V . Entonces, en vez de las 10 propiedades s ́olo hemos de verificar dos: las de clausura, porque las otras ocho sesiguen inmediatamente de estas dos.
Definimos un conjunto no vac ́ıo S de un espacio vectorial V como un subespacio de V si S es un espacio vectorial bajo las mismas operaciones de suma vectorial y producto por escalar definidas en V .
Teorema 2.6.1 Sea V un espacio vectorial y S ⊂ V ; S es un subespacio vectorial si y s ́olo si se verifican las dos propiedadessiguientes (de clausura):
(i) Clausura bajo suma: si a∈S y b∈S, entonces a+b∈S. (ii) Clausura bajo producto por escalar: si a ∈ S y α es cualquier escalar, entonces
α · a ∈ S.

5.3 Propiedades Vectores, combinacion lineal, dependencia e independencia lineal

* Definición de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unascaracterísticas que son:
Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que locontiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.
* PropiedadesConmutativa: a+b=b+a
Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)
Elemento Neutro: a+0=a
Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0
Combinación lineal
Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que:
.
Así, es combinación lineal de vectores de si...
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