Matematicas 4

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En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos iguales a cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son:
[pic]
Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn definida sobre un anillo K asume la forma:
[pic]

Matriz identidad: Matriz identidad

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Enálgebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna i-ésima de una matriz identidad es el vector unitario ei de una base vectorial inmersa en un espacio Euclídeo de dimensión n.Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. In, la matriz identidad de tamaño n, se define como la matriz diagonal que tiene 1 en cada una de las entradas de la diagonal principal, y 0 en el resto. Así,
[pic]
Empleando la notación que a veces se usa para describir concisamente lasmatrices diagonales, resulta:
In = diag(1,1,...,1)
Si el tamaño es inmaterial, o se puede deducir de forma trivial por el contexto, entonces se escribe simplemente como I.
También se puede escribir usando la notación delta de Kronecker:
Iij = δij
o, de forma aún más sencilla,
I = (δij)
La matriz identidad de orden n puede ser también considerada como la matriz permutación que eselemento neutro del grupo de matrices de permutación de orden n!.
Matriz simetrica: Una matriz de [pic]elementos:
[pic]

es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aij = aji para todo i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal y que A es también, la matriz traspuesta de sí misma: At = A.
Ejemplo para n = 3:
[pic]

[editar]Propiedades

Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyas entradas sean reales puede ser diagonal matriz ortogonal. Éste es un caso especial de una matriz hermítica.

[editar] Autovalores

Como las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas, todos sus autovalores sonreales.
Con base en las propiedades de los autovalores de una matriz simétrica, se pueden clasificar en los siguientes tipos:
• definida positiva: Una matriz simétrica es definida positiva si y solo si todos sus autovalores son estrictamente positivos.
• definida negativa: Una matriz simétrica es definida negativa si y solo si todos sus autovalores son estrictamente negativos.
•semidefinida positiva: Una matriz simétrica es semidefinida positiva si y solo si todos sus autovalores son mayores o iguales a cero.
• semidefinida negativa: Una matriz simétrica es semidefinida negativa si y solo si todos sus autovalores son menores o iguales a cero.

[editar] Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica

Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma departe simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:
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donde la parte simétrica es
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Matriz triangular: En álgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matricestriangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices. El método de descomposición LU permite descomponer cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y una superior U.

Matriz diagonal: En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas...
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