Matematicas Calculo

NOTAS DE CLASE CÁLCULO III
Guias de Estudio
Doris Hinestroza

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Índice general
1. FUNCIONES VECTORIALES 1.1. Resumen de la unidad . . . . . 1.2. Contenido . . . . . . . . . . . . 1.3. Objetivos específicos . . . . . . 1.4. Trabajo en clase . . . . . . . . 1.5. Problemas resueltos . . . . . . 1.6. Problemas propuestos . . . . . 1.6.1. La Cicloide . . . . . . . 1.6.2. LaBraquistócrona . . . 1.6.3. Curvas de Bézier . . . . 1.6.4. La Epicicloide . . . . . . 1.6.5. La Hipocicloide . . . . . 1.6.6. Curva de Agnesi . . . . 1.7. Exámenes cortos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 10 17 18 19 20 22 23 23 24 27 27 28 29 30 35 52 54 59 59 60 63 72

2. CAMPOS VECTORIALES Y ESCALARES 2.1. Resumen de la unidad . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Objetivos Específicos de la Unidad . . 2.2. Trabajo en clase . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Problemas resueltos. . . . . . . . . . . . . . 2.4. Exámenes cortos realizados . . . . . . . . . . 2.5. Exámenes parciales anteriores . . . . . . . . . 3. Integrales Dobles y Triples 3.1. Objetivos . . . . . . . . . . 3.2. Trabajo en clase . . . . . . 3.3. Problemas resueltos . . . . 3.4. Exámenes cortos realizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4Capítulo 1

FUNCIONES VECTORIALES
1.1. Resumen de la unidad

Hasta ahora hemos estudiado curvas como la gráfica de una función dada en forma explícita, y = f (x) o x = g(y), o como gráfica de un conjunto de puntos (x, y) que satisfacen una ecuación F (x, y) = 0. Una ecuación como las anteriores, no es la única forma de describir una curva y a menudo no es la más conveniente. Por ejemplo si la curvadescribe la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano o el espacio, el movimiento queda determinado por su posición en cada instante de tiempo. Esta descripción implica expresar las variables x, y, o x, y, z como función de la variable t o parámetro t. El estudio de cantidades vectoriales (como la fuerza, la velocidad , la aceleración etc.) datan desde la antigüedad, ya que en 1696 seplantearon problemas como el siguiente: Una partícula es obligada a deslizarse sin rozamiento a lo largo de cierta curva, que une un punto A con un punto B situado más abajo. Si la partícula desciende sometida únicamente a la acción de la gravedad, se pregunta cuál es la curva que debería elegirse para que el tiempo empleado sea mínimo. Bernoulli dio solución a este problema y dicha curva coincidiócon una curva llamada braquistócrona. También se planteaban problemas físicos concretos cuya solución era una curva, como es el caso de la refracción de un rayo luminoso, el cuál dio origen al Principio General de Fermat de la óptica geométrica creando las bases para calcular los sistemas de lentes. 5

El moderno sistema de análisis vectorial fue creado de manera independiente (y casisimultáneamente) en la década de 1880 por el físico matemático Willard Gibbs y el ingeniero eléctrico Oliver Heaviside (1850-1925). Gibbs introdujo la notación i, j, k que ahora es estándar para los vectores tridimensionales. Gibbs → → − fue el primero en definir con claridad el producto escalar − · b y el producto a − → − → → → vectorial − × b de los vectores − y b ; estas operaciones son, no sólo...