Matematicas discretas

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE COACALCO
MAURICIO PERALTA NIEVES
B-121
MATEMÁTICAS DISCRETAS I
CONJUNTOS, SUBCONJUNTOS, DIAGRAMAS DE VENN Y OPERACIONES BÁSICAS DE CONJUNTOS
M. EN TIC HEIDI GABRIELA SIERRA

CONJUNTOS

El concepto de conjunto como objeto abstracto comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativasa conjuntos que necesitó en su trabajo.
La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye a George Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en elque todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.

George Cantor dio la siguiente definición de conjunto:
“Entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante unaley.”

Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas.

Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A = B.

Descripción de un conjunto

Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:
Una de ellas esmediante una definición intensiva o por comprensión, describiendo una condición que cumplen sus elementos:
A es el conjunto cuyos miembros son los números enteros positivos menores que 5.
B es el conjunto de colores de la bandera de México.

La segunda manera es por extensión, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjunto entrellaves:
C = {4, 2, 3, 1}
D = {blanco, rojo, verde}

Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, a menudo pueden usarse ambas definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto.
Por ejemplo:
«El conjunto de las vocales en español» = {e, u, a, i, o}

En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D

Debido a la propiedad de laextensionalidad, el orden en el que se especifiquen los elementos de un conjunto es irrelevante (a diferencia de una tupla o una sucesión).
C′ = {1, 2, 4, 3} es igual a C = {4, 2, 3, 1}
D′ = {verde, blanco, rojo} es igual a D = {blanco, rojo, verde}

SUBCONJUNTOS

En teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A "está contenido" dentro de B. Recíprocamente, se dice que elconjunto B es un superconjunto de A cuando A es un subconjunto de B. Un conjunto A formado por algunos de los elementos de otro conjunto B es un subconjunto de este último:
Sean A y B dos conjuntos tal que cada elemento de A es también elemento de B. Entonces se dice que:A es un subconjunto de B, y se denota A ⊆ BB es un superconjunto de A, y se denota B ⊇ A |

Subconjunto Propio

Es obvio quecada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación de una formula bien formada). Por tanto se tiene el siguiente teorema: todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.
Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B. Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:

Sea A un subconjunto de B tal que A ≠...