Matematicas funciones

Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. C´lculo de
a
derivadas. Aplicaciones.
0.1.

Concepto de derivada.

Definici´n 1. Sea f : S ⊂ R → R, a ∈ (b, c) ⊆ S. Decimos que f es derivable en a si existe:
o
l´
ım

x→a

f (x) − f (a)
∈ R.
x−a

Dicho valor se denota como f (a), se llama derivada de f en a y tambi´n se puede escribir como
e
l´
ım

h→0

f (a + h) − f (a),
h

donde x − a = h.

Nota 2. Para que la derivada exista tiene que existir el l´
ımite, es decir, deben existir los l´
ımites laterales y coincidir.

Definici´n 3. Una funci´n f se dice derivable en A si lo es en todo punto a ∈ A.
o
o

Ejemplo 4.

a) f (x) = x2 es derivable en a = 2 y su derivada vale f (2) = 4, ya que:
f (2) =
=

f (2 + h) − f (2)
(2 + h)2 − 22
= l´
ım
h→0h→0
h
h
l´
ım

h2 + 4h
= l´ (h + 4) = 4.
ım
h→0
h→0
h
l´
ım

b) f (x) = |x| no es derivable en a = 0, pues
f+ (0) = l´ +
ım
h→0

|h| − |0|
h
= l´ + = 1
ım
h
h→0 h

pero

|h| − |0|
−h
= l´ −
ım
= −1.
h
h
h→0
Luego existen las derivadas laterales, pero los l´
ımites no coinciden. Entonces, la funci´n valor absoluto no es
o
derivable en a = 0.
f− (0) = l´ −ım
h→0

c) f (x) = x1/3 no es derivable en a = 0, ya que:
h1/3 − 01/3
1
= l´
ım 2/3 = +∞
h→0
h→0 h
h

f (0) = l´
ım

luego no se trata de un n´mero real. En este caso, se dice que la funci´n tiene derivada +∞ en a = 0.
u
o

Definici´n 5 (Funci´n derivada). Sean f : S ⊂ R → R y T = {x ∈ S/ f posee derivada en x}. La funci´n:
o
o
o
x∈T

→

f (x) ∈ R

se llama funci´nderivada primera de f y se representa por f .
o
An´logamente se pueden definir las derivadas sucesivas:
a
f = (f ) ,

f

= (f ) ,

1

f iv) = (f ) ,

...

0.2.

Interpretaci´n geom´trica de la derivada
o
e

Si f es derivable en a, f (a) es un n´mero real que coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x)
u
en el punto (a, f (a)).

4
3
2
1

0

0.51 1.5 2
x

–1

es la funci´n y = x2
o
es la tangente en el punto (1, 1), y = 2x − 1
× × × × es la recta normal en el punto (1, 1), y = (3 − x)/2
−−−−

Definici´n 6. Se define la recta de pendiente m que pasa por el punto (x0 , y0 ) como:
o
y − y0 = m (x − x0 )
Dos rectas de pendientes m y m, respectivamente, se dice que son perpendiculares cuando forman un ´ngulo de
a
90o . Entonces,se puede comprobar que la relaci´n entre sus pendientes es:
o
m=−

1
m

Definici´n 7. Si f es derivable en a y f (a) = 0, entonces la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f (a)) es
o
f (a), y la pendiente de la recta normal es − f 1 .
(a)

y − f (a) = f (a) (x − a)

y − f (a) = −

es la recta tangente a y = f (x) en el punto (a, f (a)).

1
(x − a)
f (a)

es la rectanormal a y = f (x) en el punto (a, f (a)).

Nota 8.
Si f (a) = 0, entonces la recta tangente es horizontal.
Si f (a) = ±∞, entonces la recta tangente es vertical.

2

Teorema 9. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.
Demostraci´n: Supongamos que f es derivable en a. Entonces, existe el l´
o
ım

x→a

f (x) − f (a)
= f (a).
x−a

Para la continuidad de f en a,tenemos que demostrar que si x → a entonces f (x) → f (a).
Notemos que si x = a,
f (x) − f (a) =
luego
l´
ım

x→a

f (x) − f (a)
· (x − a)
x−a

f (x) − f (a)
· (x − a) = f (a) · l´ (x − a) = 0
ım
x→a
x−a

Nota 10. El rec´
ıproco no es cierto, es decir, una funci´n continua en un punto no tiene por qu´ ser derivable en ese
o
e
punto.
Ejemplo: f (x) = |x| en a = 0.

0.3.

´Algebra de derivadas

Teorema 11. Sean f , g : S ⊂ R → R dos funciones derivables en a. Entonces, se verifica:
1. f ± g es derivable en a, siendo:
(f ± g) (a) = f (a) ± g (a)
2. Si λ ∈ R, entonces λ · f es derivable, siendo:
(λ · f ) (a) = λ · f (a)
3. f · g es derivable en a, siendo:
(f · g) (a) = f (a) · g(a) + f (a) · g (a)
4. Si g (a) = 0,

f
es derivable en a, siendo:
g
f
g...