Matematicas-practicas

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MATEMÁTICAS

PRÁCTICA 3: ÁLGEBRA LINEAL.

1. Sea Rn [x] el espacio vectorial de los ponimomios de grado menor o igual que n ∈ N, con n ≥ 1, y con coecientes sobre el cuerpo R. Se pide: i)Determinar si los subconjuntos W1 = {p(x) ∈ Rn [x] tales que p(0) = p (0) = 0}
W2 = {p(x) ∈ Rn [x] tales que grado(p) = n}

son subespacio vectorial de Rn [x]. ii) Supuesto n ≥ 2, comprobar si
p1 (x) =1 + 3x + 5x2 , p2 (x) = −1 + 2x2 , p3 (x) = 3 + 3x + x2

son linealmente dependientes o independientes. n Nota: Sabiendo que B = {1, x, . . . , x } es una base de Rn [x], puede trabajarse con lascoordenadas de los vectores dados respecto de esta base. iii) Supuesto n ≥ 2, y dados
q1 (x) = 1 + x2 , q2 (x) = 1 − x2 , q3 (x) = 1 + 5x2 , q4 (x) = 1 + x,

determinar si q3 ó q4 pertenecen a L{q1 ,q2 }. 2. En R4 consideramos los subespacios vectoriales:
W1 = L{(0, 1, 2, 0), (0, −1, 1, 0), (0, 1, 1, 0)} y+z = 0 2y − z = 0

W2 ≡

W3 = L{(0, 0, 0, 1), (0, −1, 0, 1)}

Se pide: 1

i)Obtener una base, las ecuaciones paramétricas y las implícitas de W1 + W3 y de W1 ∩ W3 . ¾Es R4 = W1 ⊕ W3 ? ii) Calcular una base de W2 ∩ W3 . 3. Dadas las bases de R3 :
B = {(−1, 1, 1), (2, 0, −1), (0,1, 0)} y B = {(−1, 3, 0), (2, 0, 1), (0, 1, 0)},

se pide: i) Hallar las coordenadas de los vectores v1 = (2, 1, 3), v2 = (−1, 1, 0) y v3 = (4, 5, 2) respecto de B . ii) Si v tiene coordenadas (1,−2, 1) respecto de la base B , ¾cuáles son sus coordenadas respecto de B ? 4. Sea f : R3 → R4 la aplicación lineal dada por:
f (x, y, z) = (x − 3y, y − z, x − y − 2z, x − 2y − z)

i) Obtener laexpresión matricial de f respecto de las bases canónicas de R3 y R4 . ii) Calcular las ecuaciones implícitas y paramétricas de Ker(f ) e Im(f ), así como una base para cada uno de los subespacios. iii)Determinar si f es un monomorsmo, un epimorsmo, un isomorsmo o ninguno de los anteriores. 5. Dado el endomorsmo de R3 cuya representación matricial con respecto a la base canónica es
 3 2 0 A=...
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