MATEMATICAS TP 1 Primera parte

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA – 10300

RESPUESTAS DEL TRABAJO PRÁCTICO Nº 1

Respuestas del Trabajo Práctico Nº 1
Primera Parte

EJERCICIO 1
Decidí si las siguientes afirmaciones son V o F. Justificá
a) El opuesto del producto de dos números enteros es igual al producto de sus opuestos.
Respuesta

–(a.b) = ( –a).(–b)

Falso

Contraejemplo:

–(7.4) ≠ ( –7).(–4)
–28 ≠ 28

Por el teorema 1.1.V (pág. 42):( –a).(–b) = a.b

b) Si a es un número entero negativo, el producto de a y su siguiente es siempre positivo.
Respuesta

Falso. Veamos un contrajemplo:
Si a = –1, entonces a + 1 = 0, luego: (–1).0 = 0

EJERCICIO 2
Sabiendo que a ∈ ℤ y a ≠ 0, ordená de menor a mayor: a, – a y 0.
Respuesta

Si a > 0

Þ

–a < 0 < a

Si a < 0

Þ

a < 0 < –a

EJERCICIO 3
Siendo a y b números reales, en general (a + b)3≠ a3 + b3 , porque:
(a + b)3 = a3 +

Respuesta

+

+

(a + b)3 = (a + b).(a + b)2 =
= (a + b).(a2 + 2ab + b2) =
= a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

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ELEMENTOS DE MATEMÁTICA – 10300

a) Encontrá, si existen, casos donde (a + b)3 = a3 + b3, enunciando en cada paso las propiedades algebraicas utilizadas.
Respuesta

Si (a + b)3 = a3+ b3, resultaría 3a2b + 3ab2 = 0. Sacando factor común 3ab, resulta 3ab.(a + b) = 0.
Luego, a = 0 ó b = 0 ó a = –b.

b) ¿Se cumple esto si a = – b?
Respuesta

Sí.

c) ¿Se cumple esto si a = b = 0?
Respuesta

Sí.

EJERCICIO 4
Siendo a y b números enteros, en qué casos ab3 = (ab)3. Enunciá en cada paso las propiedades algebraicas utilizadas.
¿Qué conclusión obtuviste?
Respuesta
Si ab3 = (ab)3entonces ab3 = a3b3 por propiedad distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación.
Luego,
§

Si a = 0, se obtiene 0 = 0.

§

Si b = 0, se obtiene 0 = 0.

§

Si a = b = 0, se obtiene 0 = 0.

§

Si a ≠ 0, b ≠ 0 y ab3 = a3b3 entonces, a = a3 por axioma de simplificación en la multiplicación, ya que b ≠ 0,
b3 ≠ 0. Luego, de a = a3 se obtiene a3 – a = 0 por la propiedad: (m = n Þ m – n = 0), ysacando factor
común a resulta a(a2 – 1) = 0. De este modo, a = 0 ó a2 – 1 = 0 ya que, por propiedad, si un producto es
cero, entonces, alguno de sus factores es cero. Pero al principio dijimos que a ≠ 0, luego a2 – 1 = 0,
entonces a2 = 1 por lo que a = 1 ó a = –1.

Finalmente, los casos son:

2

§

a = 0, "b ∈ ℤ

§

"a ∈ ℤ, b = 0

§

a=b=0

§

a = 1, "b ∈ ℤ

§

a = –1, "b ∈ ℤ

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RESPUESTAS DEL TRABAJO PRÁCTICO Nº 1

EJERCICIO 5
Hallá los valores de k ∈ ℤ para que se cumpla la siguiente desigualdad. Dejá expresado el procedimiento seguido.
Si k < 4 y 5k > 2k entonces k debe ser:
Respuesta
Comenzamos trabajando con 5K > 2K, restamos 2K a ambos miembros, y se obtiene 3K > 0. Luego, si el
producto es positivo y uno de sus factores también, el otro será positivo;entonces K > 0. De este modo,
tenemos dos condiciones: K < 4 y K > 0, luego, los valores de K que las satisfacen son: 1, 2 y 3.

EJERCICIO 6
Acerca de la sucesión de números naturales pares y números naturales impares.
a) Escribe los diez primeros números naturales pares y luego, los diez primeros números naturales impares.
Respuesta
§

Diez primeros números naturales pares:

2, 4, 6, 8, 10, 12,14, 16, 18, 20.

§

Diez primeros números naturales impares:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.

Nota: los números naturales pares, tienen la forma: 2.n (n ∈ ℕ)
los números naturales impares, tienen la forma: 2.n ─ 1 (n ∈ ℕ)

b) ¿En qué posición se encuentra el número 84? ¿y el número impar 75? ¿cómo se puede averiguar?
Respuesta
Si 2.n = 84 Þ n = 42

a42 = 84

Si 2.n ─ 1 = 75 Þ 2.n = 76 Þ n =38

a38 = 75

Se averigua considerando el término general en cada una de las sucesiones.

EJERCICIO 7
A continuación se presentan dos sucesiones donde n representa a cualquier número natural. Se pide escribir los
cinco primeros términos de cada sucesión.

§ 𝑎𝑛 = 10𝑛

Respuesta

Sus cinco primeros términos son:

a1 = 10
a2 = 20
a3 = 30
a4 = 40
a5 = 50

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§...