Matematicas v

Trabajo de Mate 5 mi parte 2.3 - 2.8.1

Tema 2.3.- Existencia y Unicidad

Este tema habla de cuando se tiene un problema que trata de modelar alguna situación física (como por ejemplo el movimiento de una palanca), para esto se requiere la Existencia y Unicidad por que se necesita tener una solución ya que debe de pasar algo físicamente. También dice que la solución debe ser única, ya que sise tiene el mismo problema, debe dar resultados idénticos, siempre y cuando sea deterministico. Por eso, cuando se tiene un problema de valor inicial se debe de preguntar:

-Existirá una solución al problema?
-En caso de que exista una solución, será única?
-Si existe una solución, como se determina?

A continuación se vera un ejemplo:
Si se tiene el problema de valor inicial:
[pic]Fácilmente se ve que [pic] es una solución, ya que separando las variables e integrando se obtiene:
[pic]

Y usando la condición inicial [pic] se tiene que [pic], con lo cual la solución sería [pic]. Observese que al resolver la ecuación diferencial se divide por[pic] lo cual se supone que [pic], pero se puede verificar que [pic] es solución, en este caso es una solución singular. Por lo tanto, elproblema de valor inicial tiene solución pero no es única, como se puede predecir que esto pasara sin tener que resolverlo? A continuación se vera el teorema que dará una respuesta.

Teorema:
Sea [pic] tal que [pic]. Si [pic] y [pic] son continuas en [pic], entonces existe un intervalo abierto [pic], centrado en [pic] y una función [pic] definida en [pic], que satisface el problema de valorinicial 

[pic]
En el ejemplo anterior se tiene que [pic] y [pic], las cuales son continuas en el semiplano definido por [pic]; entonces, el teorema garantiza que para cada punto [pic] con [pic] de ese semiplano, hay un intervalo centrado en [pic] en el cual la ecuación diferencial tiene una solución única. Así por ejemplo, sin resolverlo se sabe que el problema de valor inicial
[pic]

Tieneuna sola solución, mientras que para los problemas en donde [pic] el teorema no garantiza nada, osea que podría suceder cualquier cosa: que no tenga solución, que tenga solución única o varias soluciones, como sucedió en el ejemplo anterior.

Referencias:
www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/.../node12.html

Tema 2.4.- Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas

Existen algunas ecuacionesdiferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas se tiene que ver lo que es una función homogénea.
Una función [pic] se dice homogénea de grado [pic] si:
[pic]
Para todo [pic] y todo[pic].

Ejemplo:
1. La función [pic] es homogénea de grado [pic].
2. Lasfunciones [pic], [pic], [pic] son homogéneas de grado 0.
3. Las funciones [pic], [pic],[pic] son homogéneas de grado 2.
Ahora se define lo que es una ecuación diferencial homogénea.
 “Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, [pic], es homogénea si la función [pic] es homogénea de orden cero.”
Observación: S i la ecuación diferencial está escrita en la forma:
[pic]
Sería homogénea solamente sí loscoeficientes [pic] y [pic] son funciones homogéneas del mismo grado.
Ahora se definirá el teorema:
Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
[pic]

Es homogénea, entonces el cambio de variable [pic] la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.
Demostrándose:
Al hacer la sustitución se obtiene:
[pic]

Pero como [pic] es una función homogénea de grado cero se tieneque:
[pic]

De donde:
[pic]

La cual es separable, como se quería.

Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial:
[pic]

La ecuación diferencial es homogénea pues [pic] y [pic]son homogéneas de grado dos:
[pic]

Haciendo la sustitución:
[pic]
De donde:
[pic]
Integrando y volviendo a las variables [pic] y [pic] se obtiene:
[pic]

Nótese que [pic] es una solución singular de...