Matematicas

EL PLANO AFÍN
Biyección entre puntos y vectores con un origen común
Elijamos un punto O del plano como origen de todos los vectores libres. Podemos establecer entonces una correspondencia entre puntos del plano y vectores, de la siguiente manera: r A todo vector libre a le corresponde el extremo A determinado por dicho vector al situar su origen en el punto O. Así, a = OA

r

A todo punto Ble corresponde el vector libre b cuyo representante es OB .

r

r a = OA

vector

punto A B

OB

Es fácil adivinar que todo punto del plano determina con el punto O un único vector, y del mismo modo, todo vector determina, al situar su origen en O, un único punto. De esta manera, esta correspondencia es una aplicación biyectiva. El vector OA se llama vector de posición del punto A.Sistema de referencia afín. Coordenadas de un punto y componentes de su vector de posición.
Un sistema de referencia debe contener los elementos necesarios para que cualquier punto del plano quede definido y situado mediante operaciones aritméticas sencillas con dichos elementos. Así, un sistema de referencia en el plano afín consta de un punto fijo que se elige como origen, y dos vectores queformen base, es decir, dos vectores no paralelos. R={0, u , v }

r r

es un sistema de referencia.

Veamos cómo se puede expresar cualquier punto respecto de este sistema.

r r u y v del sistema de referencia son uns base, podemos hallar las componentes de OA en la r r r r base B={ u , v }. Supongamos que son OA =x u +y v donde x,y ∈R.
Pues bien, diremos que (x,y) son las coordenadas delpunto A en el sistema de referencia R={0, u , v } puesto que (x,y) son las componentes del vector de posición OA en la base r r B={ u , v }. Es decir, las coordenadas de un punto en un sistema de referencia coinciden con las componentes de su vector de posición en la base del sistema.

Supongamos un punto cualquiera A, del palno. Si formamos el vector OA , como los vectores

r r

r r OA =4 u+2 v r r OA =(4,2) en B= { u , v } r r A=(4,2) en R={O, u , v }

1

Sistama de referencia ortonormal
Un sistema de referencia en el que los vectores de la base son perpendiculares y de módulo 1 se llama sistema de referencia ortonormal. A partir de ahora utilizaremos el sistema de referencia canónico, que es el que solemos situar en el centro de los ejes cartesianos.

Expresión analíticade las operaciones con vectores
r r r r Suma: si a =(a1,a2) y b =(b1,b2) , las componentes del vector suma a + b son: r r a + b = (a1 + b1 , a2 + b2) r r r r a +b =b + a r r a + b = (a1 , a2 )+( b1 ,b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2) = (b1 + a1 , b2 + a2) = r r (b1 , b2 )+( a1 ,a2 ) = b + a r r r r r r asociativa: ( a + b )+ c = a +( b + c ) r r r ( a + b )+ c = [(a1 , a2 )+( b1 ,b2 )]+( c1 , c2 ) = (a1 +b1 , a2 + b2 )+( c1 , c2 ) = =( a1 + b1 + c1 , a2 + b2 + c2 ) = (a1 , a2 )+( b1 + c1 , b2 + c2 ) = r r r = (a1 , a2 ) +[( b1 ,b2 )+( c1 , c2 )] = a +( b + c ) r r r r r r r Elemento Neutro: 0 = ( 0 , 0 ); a + 0 =(a1 , a2) + ( 0 , 0 ) = (a1 , a2) = a ⇒ a + 0 = a r Elemento Opuesto: - a =(-a1 , -a2); r r r r r r a + (- a ) = ( a1 , a2 )+ (-a1 , -a2 ) = ( 0 , 0 ) = 0 ⇒ a + (- a ) = 0
conmutativa:Propiedades:

r r Producto por un número real: Si a =(a1,a2) y k∈R, las componentes del vector k a son: r k a =(ka1,ka2)
Propiedades: (I) k( a + b )=k a +k b

r r r r

r

r r

k( a + b ) = k[(a1 , a2 )+( b1 ,b2 )] = k( a1 + b1 , a2 + b2 ) = (k(a1 + b1), k(a2 + b2)) =

=( ka1 + kb1 , ka2 + kb2)=( ka1 , ka2 ) + (kb1 , kb2) = k(a1 , a2) + k(b1 , b2) = k a +k b (II) (k+h) a =k a +h a

rr r

r

r r r

(k+h) a = (k+h)( a1 , a2) = ((k+h) a1 , (k+h) a2) = (k a1+h a1, k a2+h a2) = = (ka1 , ka2)+(ha1 , ha2) = k)( a1 , a2) + h)( a1 , a2) = k a +k b (III) (kh) a =k(h a ) (kh) a = (kh) (a1 , a2) = ((kh)a1 , (kh)a2) = (k(ha1), k(ha2)) = k(ha1 , ha2) = k(h(a1 , a2)) = r = k(h a ) (IV) 1· a = a

r r

r

r r r r

1· a =1·( a1 , a2) = (a1 , a2) = a

2

Componentes de...