Matematicas

Espacios eucl´
ıdeos

M´todos Matem´ticos: An´lisis Funcional
e
a
a
Licenciatura en Ciencias y T´cnicas Estad´
e
ısticas
Universidad de Sevilla
´
Renato Alvarez-Nodarse

http://euler.us.es/˜renato/clases.html

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Renato Alvarez-Nodarse

M´todos Matem´ticos: An´lisis Funcional
e
a
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Espacios eucl´
ıdeos

Espacios eucl´
ıdeos

Definici´n
o
Se dice que un espaciovectorial E es un espacio eucl´
ıdeo si dados
dos elementos cualesquiera x , y ∈ E existe un n´mero denominado
u
producto escalar y que denotaremos por x , y tal que
1

Para todo x , y ∈ E, x , y = y , x .

2

Para todo x , y , z ∈ E, x + y , z = x , z + y , z .

3

Para todo x , y ∈ E y λ ∈ C, λx , y = λ x , y

4

Para todo x ∈ E, x = 0, x , x > 0 y si x , x = 0, entonces
x = 0.´
Renato Alvarez-Nodarse

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e
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Espacios eucl´
ıdeos

Espacios eucl´
ıdeos: Ejemplos
Cn con el prod. escalarL: x = (x1 , . . . , xn ), e y = (y1 , . . . , yn )
n

x, y =

xk yk .
k =1

Obviamente este es un espacio de dimensi´n finita.
o

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Renato Alvarez-Nodarse

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e
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Espacioseucl´
ıdeos

Espacios eucl´
ıdeos: Ejemplos
Cn con el prod. escalarL: x = (x1 , . . . , xn ), e y = (y1 , . . . , yn )
n

x, y =

xk yk .
k =1

Obviamente este es un espacio de dimensi´n finita.
o
l 2 , el espacio de las sucesiones (xn )n tales que ∞ |xk |2 < ∞,
k =1
donde si x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .), e y = (y1 , y2 , . . . , yn , . . .)
∞

xk yk .

x, y =
k =1

Dela desigualdad de H¨lder ⇒ el p.e. est´ bien definido.
o
a

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e
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Espacios eucl´
ıdeos

Espacios eucl´
ıdeos: Ejemplos
Cn con el prod. escalarL: x = (x1 , . . . , xn ), e y = (y1 , . . . , yn )
n

x, y =

xk yk .
k =1

Obviamente este es un espacio de dimensi´n finita.
o
l 2 , el espacio de las sucesiones(xn )n tales que ∞ |xk |2 < ∞,
k =1
donde si x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .), e y = (y1 , y2 , . . . , yn , . . .)
∞

xk yk .

x, y =
k =1

De la desigualdad de H¨lder ⇒ el p.e. est´ bien definido.
o
a
C[a,b] (que denotaremos por C[2 ,b] ) de las funciones continuas
a
en [a, b ] cerrado y acotado con el siguiente producto escalar
b

f ,g =

f (x )g (x )dx .
a

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e
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Espacios eucl´
ıdeos

Espacios eucl´
ıdeos: Propiedades
Ejercicio
Prueba que como consecuencia de la definici´n anterior se tiene
o
que
1

Para todos x , y , z ∈ E, x , y + z = x , y + x , z .

2

Para todos x , y ∈ E y λ ∈ C, x , λy = λ x , y .

3

Para todo x ∈ E, x , 0 = 0, x = 0.

4

Si x , z = y , zpara todos los z ∈ E, entonces x = y .

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Renato Alvarez-Nodarse

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e
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Espacios eucl´
ıdeos

Espacios eucl´
ıdeos: Propiedades
Ejercicio
Prueba que como consecuencia de la definici´n anterior se tiene
o
que
1

Para todos x , y , z ∈ E, x , y + z = x , y + x , z .

2

Para todos x , y ∈ E y λ ∈ C, x , λy = λ x , y .

3

Para todo x∈ E, x , 0 = 0, x = 0.

4

Si x , z = y , z para todos los z ∈ E, entonces x = y .

Teorema (Cauchy-Schwarz)
Sea E un espacio eucl´
ıdeo. Entonces para todos f , g ∈ E,
| f , g |2 ≤ f , f g , g .
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(1)

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ıdeos

Espacios eucl´
ıdeos y espacios normados
Teorema
Todo espacio eucl´
ıdeo Ees normado si en ´l definimos la norma
e
f , f . Adem´s, | f , g | ≤ f · g .
a
mediante la f´rmula f =
o
Demostraci´n: 1 y 2 son triviales. Probemos el tercero: que
o
f +g

2

= f + g, g + g = f , f + 2 ( f , g ) + g, g
≤ f , f + 2| f , g | + g , g
≤ f , f + 2 f , f g, g + g, g
g , g )2 ,
= ( f ,f +

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