Matematicas

I.T.Telecomunicaciones

Curso 99/00

DPTO. MATEMÁTICA APLICADA

Tema 7: Series Funcionales
Al estudiar el teorema de Taylor se observó la posibilidad de expresar una función f infinitamente derivable
como una suma infinita de funciones monomiales, algo así como un polinomio de grado infinito, como por
ejemplo
x x2 x3
ex = 1 + +
+ +

1! 2 ! 3!
En este capítulo, centramos la atenciónen sumas infinitas de funciones, generalizándose el estudio hecho
para las series numéricas.

1. Sucesiones de funciones. Convergencia puntual y uniforme
Como paso previo a la definición de serie funcional, necesitaremos el concepto de límite de una sucesión de
funciones { f n } definidas en un conjunto D de números reales.
Definición: Dada una sucesión de funciones
sucesión y que

{ f }converge puntualmente a
n

{ f } , decimos que la función
n

f es el límite puntual de dicha

f , si ∃ Lim f n ( x ) , y además se verifica que:
n→∞

Lim f n ( x ) = f ( x )
n→∞



Observaciones:
1. Si expresamos el límite usando la definición tendremos que
para cada x y cada ε existe un N tal que si n>N entonces

{f }
n

converge puntualmente a f , si

f n (x ) − f (x )< ε
2. Según el apartado anterior, en cada caso deben elegirse unos N distintos para distintos x.
3. El adjetivo puntual se refiere al hecho de que f está definida punto a punto por el límite anterior.
Ejemplo1: Calcular el límite puntual de la sucesión de funciones f n ( x ) =

nx
.
1+ n2x 2

{ f } nos muestra que f no tiene
por qué heredar ninguna de las propiedades de las funciones.Por ejemplo, las funciones { f } definidas
Un detenido estudio de las funciones f definidas como límite puntual de

n

n

como
x n
fn (x) = 
1
Javier Martínez del Castillo

Tema 7

si 0 ≤ x ≤ 1
si x > 1
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es continua en todos los puntos, pero si calculamos su límite puntual
0 si 0 ≤ x ≤ 1
f (x ) = Lim f n ( x ) = 
n →∞
si x > 1
1
observamos que no es continua en x=1.
Observemos detenidamente la gráfica de la función del ejemplo anterior y tracemos una banda de anchura
2ε a lo largo de la gráfica de f ( x ) = Lim f n ( x ) . Si ε < 1 , esta banda se compone de dos partes, las cuales
2
n →∞

no contienen ningún punto con segunda coordenada igual a 1 ; sin embargo, cada unade las funciones f n
2
1
toma el valor 2 en algún punto. Por tanto la gráfica de cada f n deja de estar dentro de esta banda. Una vez
más, tal como dijimos anteriormente, para cada punto x existe algún N tal que ( x , f n ( x )) queda dentro de
esta banda para n>N ; pero no es posible elegir un N que dé resultado para todos los x.
Es decir, si nos fijamos en la gráfica de f n , se observa queno se acercan a la gráfica de f , aunque es
verdad, que puntualmente, los valores de f n ( x ) se aproximan a f ( x ) para cada x. Esta dependencia de N
respecto de x es la responsable del mal comportamiento de la convergencia puntual.
En aquellos casos en los que el mismo N sea válido para todos los x, estaremos hablando de convergencia
uniforme (obsérvese la analogía con la continuidaduniforme).
Definición: Dada una sucesión de funciones

{ f } , decimos que la función

f es el límite uniforme de dicha

n

sucesión y que { f n } converge uniformemente a f , si para cada ε > 0 existe algún un N tal que ∀x si n>N
se verifica que:
f n (x ) − f (x ) < ε



La interpretación geométrica es que fijado ε y si consideramos la banda formada entre las gráficas de
f + ε y f −ε , a partir de un cierto N todas las gráficas de las funciones f n están dentro de la banda.
Análogamente, nos podemos encontrar que el límite puntual tampoco se comporta bien respecto de la
integración, en el sentido de que el límite de las integrales de las funciones { f n } no coincide con la integral
del límite de

{f }.
n

Ejemplo 2: Sea f n ( x ) = nxe − nx . Comprobar que Lim
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