matematicas

Clasificación
La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:[cita requerida]
1. Completa. Es la forma canónica:

donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.
Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes; 2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos números complejos conjugados, según el valor deldiscriminante

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.

2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Su soluciónson dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y de cson de signo contrario, o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de c son del mismo signo.
Una ecuación cuadrática incompleta:
ecuación cuadrática incompleta:

con a distinto de cero. Prácticamente aparece muy raras veces. Por supuesto, su única solución de multiplicidad dos esx = 0.

3. Incompleta mixta. Se expresa así:

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial x1 = 0. En números imaginarios no hay solución.

Deducción para resolver la ecuación de la forma

La ecuación de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente líder, de forma que

Si usamos otrasletras para simplificarlo de forma que y la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:
Desde la ecuación

Transponiendo n

Sumando a ambos términos

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

Transponiendo y simplificando la fracción de la raíz

Simplificando a común denominador

si deshacemos elcambio de variables, obtenemos el resultado



Teorema de Cardano-Viète
Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces , podemos construir el binomio a partir de estas con




De lo que se deduce
Suma de raíces


Producto de raíces


Para obtener la diferencia de raíces se puede hacer uso de la identidad de Legendre.


Deducción de las solucionesSolución mediante cambio de variable
Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (también de los grados tercero y cuarto) consiste en aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo , el cambio de variable se efectúa mediante .
Aplicando el cambio de variable anterior se obtiene la ecuación

Desarrollándola queda
(1).
Ahora se debe reducirla ecuación obtenida a un caso conocido del cual se conozca su solución. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo se resuelven directamente extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos, cuya solución general es .
Para transformar la ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero se debe forzar que , es decir
Sustituyendo en (1) queda . (2)
Estanueva ecuación está en la forma , que es lo pretendido mediante el cambio de variable, y que −como se expresó− su solución es inmediata, del tipo
Por tanto, despejando la variable en la ecuación (2), queda
Dado que , y que , se obtiene la solución de la ecuación original con variable en , que es

El artificio de esta demostración consiste en aplicar un cambio de variable que reducela ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.

Solución por descomposición de factores
Un modo fácil y sencillo de resolver una ecuación de 2º grado es mediante el método de factorización o Descomposición en factores. A continuación se explica paso a paso este método, según el libro de Álgebra de A. Baldor.
Pasos
• Simplificar la ecuación y...