matematicas

SUCESIONES


¿Qué es una sucesión?
Cada sucesión se puede expresar mediante una fórmula que describe la regla general que cumplen sus términos. 

Ejemplo: Para la sucesión expresada por n2 – 1, los 5 primeros términos son: 

(1)2 – 1         (2)2 – 1          (3)2 – 1        (4)2 – 1             (5)2 – 1
     0                  3                   8                   15                   24 

Para establece el término general de una sucesión es necesario establecer la regla de formación de los términos, a partir de su posición.
Ejemplo: Establecer el término general de la sucesión: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,...
 Se tiene que a1 = 1/2; a2 = 2/3, a3 = 3/4… de donde se puede  establecer que an = n/(n + 1). 


¿Qué es una sucesión convergente?
Las sucesiones convergentes sonlas sucesiones que tienen límite finito.

Límite = 0

Límite = 1
¿Qué es una sucesión divergente?

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Progresión aritmética.
Es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplementediferencia.
Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2. Así como: 5 ; 2 ; -1 ; -4 es una progresión aritmética de constante "-3".
La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es y la diferencia común es ,entonces el término de la sucesión viene dada por
,    n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.
   n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.
Progresión geométrica.
Está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión.
Así, es una progresióngeométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
1215 = 405 × 3
3645 = 1215 × 3
y así sucesivamente.
Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión





SERIES
Series de potencias.
Una serie de potencias alrededorde x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesión.
Ejemplos
La serie geométrica es una serie de potencias absolutamente convergente si y divergente si ó
La serie de potencias es absolutamente convergente para todo
La serie de potencias solamente converge paraSerie de Taylor.
es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:
La derivación e integración de una de estas series sepuede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo aes la siguiente serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente sumatoria:

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva. La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como como  1 ( = 1).

Serie de Fibonacci.

La sucesión de...