matematicas

UACh

C´lculo Integral
a
Universidad Aut´noma Chapingo
o
Preparatoria Agr´
ıcola
´
Area de Matem´ticas
a
Problemario de C´lculo Integral
a
Enero 2012

Elabor´: Prof. J Jes´s P´rez J
o
u e
Colabor´: Prof. Margarito Soriano Montero
o

1

Jjpj-Msm

1.

a du = a

2.

( du ± dv) =

3.

du = u + c

4.

un du =

5.

du, (a=constante)
du ±

dv

un+1
+ c,n = −1
n+1

du
= ln |u| + c
u
u

21.

√

12.

csc(u) du = ln |csc(u) − cot(u)| + c

22.

1
du
u
√
= sec−1
+c
a
a
u u2 − a2

13.

sec2 (u) du = tan(u) + c

23.

du
1
u
√
√
+c
= ln
2 ± u2
a
u a
a + a2 ± u2

14.

csc2 (u) du = − cot(u) + c

a2

Integraci´n por partes:
o
15.

sec(u) tan(u) du = sec(u) + c
24.

eu du = eu + c

17.

du
1
u= arctan
+c
u2 + a2
a
a

sin(u) du = − cos(u) + c

18.

du
1
=
ln
2 − u2
a
2a

u+a
u−a

19.

du
1
=
ln
2 − a2
u
2a

u−a
u+a

20.

√
du
√
= ln u + u2 ± a2 + c
u 2 ± a2

u dv = uv −

v du

csc(u) cot(u) du = − csc(u) + c

au du =

7.

9.

sec(u) du = ln |sec(u) + tan(u)| + c

16.

6.

8.

a
+c
ln(a)

du
u
+c
= arcsin
2
a
−u11.

cos(u) du = sin(u) + c

10.

tan(u) du = ln[sec(u)] + c

28.

+c

25. Caso I:

√

26. Caso II:

a2 − b2 u2 , hacer u =

√

27. Caso III:

a2 + b2 u2 , hacer u =

√

a
sin(θ)
b
a
tan(θ)
b

b2 u2 − a2 , hacer u =

a
sec(θ)
b

√
u√ 2
a2
u
a2 − u2 du =
a − u2 + csc−1
+c
2
2
a

29.

+c

Sustituci´n trigonometrica:
o

√
√
u√ 2
a2
u2 ±a2 du =
u ± a2 ± ln u + u2 ± a2 + c
2
2
Elabor´: Profr. Jos´ de Jes´s P´rez Ju´rez
o
e
u e
a

UACh

C´lculo Integral
a

Diferencial de una funci´n.
o

3. f (x) =

√

x, x = 10, ∆x = 1

Sol: ∆2 1 = 0.1543, dy = 0.1581.
Sea y = f (x) una funci´n derivable en un intervalo abierto que
o
contiene a x. La Diferencial de x denotada dx es cualquier n´mero
u
real no nulo. Ladiferencial de y denotada dy es

4. f (x) = x3/2 , x = 4, ∆x = 0.1
Sol: ∆y = 0.3019, dy = 0.300.
1
, x = 0, ∆x = −0.2
+1
Sol: ∆y = −0.385, dy = 0.

dy = f (x)dx

5. f (x) =

Las diferenciales se pueden uatilizar para aproximar valores de las
funciones, para tal fin se usa la formula

x2

x+1
, x = 0, ∆x = 0.1
x−1
Sol: ∆y = −0.2222, dy = −0.2.

6. f (x) =

f (x + ∆x ) ≈ f (x)+ dy = f (x) + f (x)dx,
que se deduce de la expresi´n
o
∆y = f (x + ∆x ) − f (x) ≈ dy.
La clave en el uso de esta f´rmula reside en elegir un valor de x que
o
haga sencillos los c´lculos.
a

* Usando diferenciales estima el valor de la expresi´n
o
dada.
√
7. 37

* Calcula el incremento ∆y y la diferencial dy para los
valores indicados de x y ∆x si

Sol: 6 +
√
8. 35

1
12Sol: 6 −
√
3
9. 25

1
12

Sol: 3 −

2
27

1. f (x) = 3x + 4, x = 2, ∆x = 1
Sol: ∆y = dy = 3.
2. f (x) = x2 , x = 10, ∆x = 1
Sol: ∆y = 21, dy = 20.
2

Jjpj-Msm

UACh

10.

√
3

C´lculo Integral
a

32.8

17. f (x) = ln(2x + 1)
2
Sol: dy =
dx
2x + 1

Sol: 2.01
√
11. 16.3

18. f (x) = sin(x2 + 2)

Sol: 4.0375

Sol: dy = 2x cos(x2 + 2)dx

12. sin(31.5◦)

19. f (x) = cos(x3 + 1)
Sol: dy = −3x2 sin(x3 + 1)dx

Sol: 0.5226

20. f (x) = tan(x2 + 2)
Sol: dy = 2x sec2 (x2 + 2)dx

* Calcula la diferencial dy de las siguientes funciones
13. f (x) = (x − 5)2

* Resuelva los siguientes problemas

Sol: dy = 2(x − 5)dx
21. Calcular el incremento del ´rea del cuadrado de 2m de lado,
a
cuando aumentamos 1mm su lado.

14. f (x) = 3x2 + 5x− 6
Sol: dy = (6x + 5)dx

Sol: 0.004m2

x+2
x2
−x + 4
Sol: dy =
dx
x3

22. Hallar la variaci´n de volumen que experimenta un cubo, de
o
arista igual a 20cm, cuando ´sta aumenta 0.2cm su longitud.
e

15. f (x) =

16. f (x) = e4x

Sol: 240cm3
23. Al calentar una placa cuadrada met´lica de 15cm de longitud,
a
su lado aumenta 0.04cm. ¿Cu´nto aument´ aproximadamente
a
o
su...