Matematicas

“Teoría de conjunto”

19/09/2011 lunes

Ingeniería en informática

Matemáticas discretas

Benjamín Flores de Dios

Universidad:

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La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en laformulación de cualquier teoría matemática.
Si a es un elemento del conjunto A ser denota con la relación de pertenencia a Î A. En caso contrario, si a no es un elemento de A ser denota aÏ A. Ejemplos de conjuntos:
∅: el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q: el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto delos números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
Por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos. Por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza. Un conjunto se suele denotar encerrando entre llavesa sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
A:={1, 2,3,..., n}
B:= {pÎ Z | p es par}
Operaciones con conjuntos y propiedades

Unión
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = {x/x Î A ó x Î B}
Ejemplo: Sean los conjuntos A= {1, 3, 5, 7, 9} y B= {10, 11, 12}
A È B = {1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12}Intersección
Sean A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} y B= {2, 4, 8, 12}. Los elementos comunes a los dos conjuntos son: {2, 4, 8}. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:
A Ç B = {x/x Î A y x Î B}. Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B. Ejemplo: Sean Q= {a, n, p, y, q, s, r, o, b, k} y P= {l, u, a, o, s, r, b, v, y,z}
Q Ç P= {a, b, o, r, s, y}
|PROPIEDADES |UNION |INTERSECCION |
|1.- Idempotente |A È A = A |A Ç A = A |
|2.- Conmutativa|A È B = B È A |A Ç B = B Ç A |
|3.- Asociativa |A È ( BÈ C ) = ( A È B ) ÈC |A Ç ( BÇ C ) = ( A Ç B ) ÇC |
|4.- Absorción |A È ( AÇ B ) = A|A Ç ( AÈ B ) = A |
|5.- Distributiva |A È ( BÇ C ) = ( A È B ) Ç( A È C ) |A Ç ( BÈ C ) = ( A Ç B ) È( A Ç C ) |
|6.- Complementariedad |A È A' = U |A Ç A' = Æ|

Estas propiedades hacen que partan de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de algebra de Boole.

Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
A È Æ= A, A Ç Æ= Æ (elemento nulo).
A È U = U, A ÇU = A (elemento universal).
(A È B)' = A' ÇB’, (A Ç B)' = A' ÈB' (leyes de Morgan).
Conjunto vacio
Un conjunto que no tieneelementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ. Por ejemplo:
Sean A= {2, 4, 6} y B= {1, 3, 5, 7} encontrar A Ç B.
A Ç B= { }. El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como: A Ç B=Æ.
Conjuntos ajenos
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al...