Matematicas

Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería de Sistemas

Equipo de Matemática Semestre 2011-II

Guia de Teoría y Práctica Matemática I Semana Nº 2 LÍMITES y CONTINUIDAD
I. INTRODUCCIÓN – MOTIVACIÓN
Idea intuitiva de Límites Observa la gráfica de la siguiente función:

f ( x)  2.0,68

x

¿Qué ocurre con los valores de la función a medida que los valores de x están más próximos acero?......................................................................... Observe además la tabla de valores: x f(x) 0,1 0,01 0,001 0,0001 .... 0 .... -0,001 -0,01 -0,1 1,92 1,99 1,999 1,9999 ……. 2 …… 2,0007 2,007 2,078

Observa la gráfica de esta otra función:

f1 ( x) 

1 x  22

¿ Qué ocurre cuando los valores de x se “aproximan” a -2? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Esto se aprecia en la siguiente tabla de valores: x f1(x) -1,9 -1,99 -1,999 .... -2 100 10000 1000000 ….  ... -2,001 -2,01 -2,1 …. 1000000 10000 100

Observa la gráfica de esta nueva función:

f ( x) 

¿ Qué ocurre cuando los valores de la función se hacen cada vez más grandes (   )?. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8 x

1

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Por último, observa la gráfica de esta función:

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T (l )  2. l
En este caso, sobre la gráfica se observa que a medida que los valores de “l” crecen los valores de “T” crecen, también, cada vez más. Sobre una tabla de valores podemos comprobar lo dicho anteriormente: l 10 100 1000000 .... T 6,32 20 2000 ….

 Todos estos ejemplos nos llevan a poder dar una idea intuitiva del significado del concepto de límite funcional. ¿Cómo podrías definir el limite de una función?........................................................................................................

II. CAPACIDAD A LOGRAR
 Interpreta el concepto de límites y continuidad en aplicaciones de contexto real.

III. DESARROLLOTEÓRICO – PRÁCTICO 3.1. DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Definición no formal de límite: Intuitivamente podemos dar la siguiente definición: “Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L si se puede hacer que f (x ) esté tan cerca como queramos de L , haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c ”. Dedonde se intuye la siguiente figura

Explique lo que entiende por límite de una función:……………………………………………………………………………………………………………………………………….

2

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……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Definición formal de límite: En la definición anterior aparecen términos que para lasmatemáticas son “abiertos” tales como “cerca” o “suficientemente cerca”, para salvar esto y tener una definición precisa y formal de límite se tiene la siguiente definición

Lim f ( x)  L    0   0 tal que 0  x  c    f ( x)  L  
xc

En la siguiente figura veamos cómo se presenta la definición anterior

Se tiene que en el eje Y, los valores f(x) están entre 3   y 3   ,siempre que los valores de x , en el eje X, están entre 2   y 2   . Es decir,

0  x  2    f ( x)  L  
Observe que la elección de   0 es arbitrario mientras que la elección de  depende de la elección previa de  . Límites de forma gráfica Veamos algunos ejemplos:
2 1) Dada la función: f ( x)  x

a) ¿A dónde se aproxima f (x ) cuando x está próximo a 1?

Como se observa en lafigura anterior, f (x ) se aproxima a un número L= 1 cuando x se

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aproxima a 1. Lo cual se simboliza de la siguiente manera:

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Lim f ( x)  1
x 1

Entonces se dice que 1 es el límite de f ( x)  x 2 cuando x se aproxima o tiende a 1. Ejemplo:...