Matematicas

En matemáticas, una hipérbola (del griego ὑπερβολή,) es una sección cónica obtenida al cortar un cono recto con un plano (no paralelo a la generatriz) de forma que se intersequen ambas ramas del cono. Se puede caracterizar también como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante y menor que la distancia entre los mismos.

Latradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo,[1] donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.[2]

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,[3]considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas
6.3 LA HIPERBOLA
Definiciones
i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F F’). Se define la hipérbola de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a. (a > 0).ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento F’F se llaman: Ejes de simetría de la hipérbola.

iii. El punto de intersección 0 de dos ejes de simetría, se llama CENTRO de la hipérbola. Los puntos A y A’ se llaman: VERTICES de la hipérbola.




fig. 6.3.1.
Observaciones:

i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano puedenservir como focos de una hipérbola. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente, aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x ó eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig. 6.3.1.).

ii. Si se obtiene la rama derecha de la hipérbola; mientras que si se obtiene la otra rama.

iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de untriángulo siempre es menor que el tercer lado. Además, se toma .


6.3.1. Ecuaciones Analíticas de la Hipérbola

caso 1. Hipérbola con focos F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0.

TEOREMA:

La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por:

(1).
Demostración:

Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbolaconsiderada (fig. 6.3.1.), se tiene de acuerdo a la definición i. que:



ó
De donde,

ó
Es decir,

Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir:



Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:



Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar sepuede escribir:


Recordando además que (observación iii.) y al dividir ambos miembros de la última igualdad por , se obtiene finalmente, que corresponde a la ecuación pedida.

Caso 2. Hipérbola con focos en F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0.

TEOREMA:

La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F’(0, -c) y F(0, c) viene dada por:

(1).fig. 6.3.2.
La demostración es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio.

Caso 3. (Caso General)

Si en vez de considerar el centro de la hipérbola en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hipérbola correspondiente, se transformarán utilizando las ecuaciones de traslación (sección 6.1.2.)en:



(3)

(4)


Según que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente.

Observaciones:

i. En la figura 6.3.3., se ha trazado la hipérbola centrada en el origen y focos en los puntos F1(c,0) y F2(-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vértices de la hipérbola y sus coordenadas son V1(a, 0) y V2(-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen...